Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

Se V x , y é o potencial elétrico de um ponto x , y do plano x y , as curvas de nível de V são chamadas curvas equipotenciais, porque nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico. Esboce algumas curvas equipotenciais de

V x , y = c r 2 - x 2 - y 2

onde c é uma constante positiva.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Para essa questão, vamos encontrar algumas curvas de níveis que determinam os pontos onde o potencial elétrico V x , y são os mesmos.

Ok, mas como podemos fazer isso?? 🤔🤔

Para determinar as curvas de níveis de uma função, devemos seguir alguns passos. O primeiro, é substituir V x , y por uma variável k . Essa variável está relacionada com o nível que vamos calcular.

Calcular a curva de nível de uma função é muito parecida com a elaboração de um desenho topográfico em geografia, lembra?

k determina a altura do plano x y que queremos, e todos os pontos que fazem parte dessa altura, fazem parte também da nossa curva de nível.

Temos também r e c que são constantes positivas, onde podemos determinar qualquer valor positivo a elas.

Passo 2

O primeiro passo é substituir V x , y por k

V x , y = c r 2 - x 2 - y 2

k = c r 2 - x 2 - y 2

Organizando a equação um pouco mais podemos achar o seguinte.

r 2 - x 2 - y 2 = c k

r 2 - x 2 - y 2 = c k 2

Isolando x 2 + y 2 de um lado da igualdade, temos

x 2 + y 2 = r 2 - c k 2

Encontramos que as curvas equipotenciais são circunferências de raio r 2 - c k 2

Passo 3

Vamos determinar c = 1 e r = 1 , para esboçar algumas curvas

x 2 + y 2 = 1 - 1 k 2

Para o nível k = 2 , temos

x 2 + y 2 = 1 - 1 2 2

x 2 + y 2 = 1 - 1 4

x 2 + y 2 = 3 4

Encontramos uma circunferência de raio 3 4 .

Para o nível k = 3 , temos

x 2 + y 2 = 1 - 1 3 2

x 2 + y 2 = 1 - 1 9

x 2 + y 2 = 8 9

Encontramos uma circunferência de raio 8 9 .

Para o nível k = 5 , temos

x 2 + y 2 = 1 - 1 5 2

x 2 + y 2 = 1 - 1 25

x 2 + y 2 = 24 25

Encontramos uma circunferência de raio 24 25 .

Passo 4

Observe que o raio sempre deve ser maior ou igual a zero, caso contrário, a curva não existe. Dessa forma

r 2 - c k 2 ≥ 0

c 2 k 2 ≤ r 2

k 2 ≥ r 2 c 2

Tirando a raiz dos dois lados para eliminar a potência 2

k ≥ r c

A curva de nível vai ser definida quando k for maior ou igual a r / c .

Plotando as curvas que encontramos anteriormente, temos

Onde e q 1 é o nível k = 2 , e q 2 é o nível k = 3 e e q 3 é o nível k = 5 .

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

x 2 + y 2 = r 2 - c k 2

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