Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

Passo 1

Vamos começar pelas curvas de nível.

Sempre que falamos sobre curva de nível, o que temos que fazer é igualar nossa função a uma constante k qualquer.

Assim, as curvas de nível da nossa função são

1 x ² + y ² = k

x ² + y ² = 1 k

E isso são várias circunferências no plano x y .

Tá, mas por que várias?

Porque o nosso k pode assumir qualquer valor que quisermos. Assim, conforme formos mudando o valor de k vamos ter circunferências diferentes, mas sempre paralelas umas as outras, porque só estaremos deslocando a circunferência.

Nossas circunferências estão centradas na origem, mas a gente tem que ficar ligado numa coisa: o raio delas é 1 k , o que significa que quanto maior for o valor de k , menor será o raio da circunferência.

Temos isso aqui:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora que já temos as curvas de nível, precisamos identificar o gráfico da nossa função. E vamos fazer isso a partir das próprias curvas de nível.

Pensa comigo, nosso gráfico tem que ser uma figura em 3D que quando a gente cortar com planos paralelos f x , y = k temos que ter circunferências.

Mas, como já sabemos, os raios das nossas circunferências vão diminuindo, a medida que os nossos planos f x , y = k vão tendo valores de k maiores.

Então, nosso gráfico tem que ter essa cara assim

Resposta

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