Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

Considere as funções:

a) f ( x ,   y ) = x + y . Para quais valores de x e y temos f ( x ,   y ) = 2 ? Represente graficamente a resposta.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

O que essa questão está pedindo pra nós? Ela quer que encontremos a relação de x e y para que f x , y seja igual a 2 e representar a resposta graficamente.

Dizer que f x , y = 2 , é sair de três dimensões para duas, já que você está definindo uma constante na 3° dimensão.

Isso significa que vamos ter uma relação f x ou f y , onde f x = y e f y = x .

A partir dessa relação, vamos ter os requisitos necessários para obter os valores de x e y para que f x , y seja igual a 2 .

A partir dessas ideias, vemos que o problema exige uma certa afinidade com funções e essa afinidade é fundamental! Então bora lá praticar!

Passo 2

O método de resolução desasa questão é muito parecida com o método das curvas de níveis para encontrar o gráfico de f x , y , a diferença é que no caso, usamos apenas um nível.

O método das curvas de níveis consiste em substituir f x , y por z e definir níveis da função substituindo z por uma constante que representa níveis de f x , y .

Algo muito parecido com a elaboração de um desenho topográfico em geografia.

Neste caso, temos

f x ,   y = x + y

x + y = z

x + y = 2

Isolando y , temos uma função mais fácil de ser reconhecida.

y = 2 - x

Imagine que y = f x

f x = 2 - x

Melhorou? Graficamente é mais simples de visualizar assim.

Com isso, vemos que x e y pode ser qualquer número real, desde que y = 2 - x ou x = 2 - y !

Passo 3

Podemos obter o gráfico f x determinando alguns valores para x e pontuando no plano cartesiano, por exemplo

Plotando os pontos A = - 1,3 , B = 0,2 e C = 1,1 no plano cartesiano, temos

Ligando os pontos por uma reta, temos

Esse é o gráfico de x + y = 2 .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

x , y ∈ R y = 2 - x

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Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico. f x , y = 4 x 2 + y ² ²
Descreva as superfícies de nível da função. f x , y , z = y 2 + z 2
Utilize um computador para traçar o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Imprima a que, em sua opinião, oferece a melhor visão. Se seu programa também produz curvas de nível, tr
Esboce o gráfico da função. f x , y = 4 x 2 + y 2
Utilize um computador para traçar o gráfico da função, usando vários pontos de vista e tamanhos de janela. Comente o comportamento da função no limite. O que acontece quando x e y se tornam muito gran