Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

Esboce o gráfico das funções a seguir:

d) f x , y = cos ⁡ x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão, foi solicitado que esbocemos um gráfico de f ( x , y ) , mas você acha que podemos fazer isso? 🤔

Esboçar um gráfico é traçar, de uma forma mais material, a imagem da função.

Uma função f x , y está contida em 3 dimensões, ou seja, dependendo de um determinado ponto em x e um determinado ponto em y , vamos ter uma imagem em z , com isso, podemos afirmar que na verdade f x , y = z .

Podemos comparar com uma lei muito famosa, a chamada 3° Lei de Newton ou lei da Ação e Reação. Essa lei da natureza diz que para cada ação, há uma consequência, por exemplo, se levantarmos tarde e deixar a cama desarrumada, nossa mãe vai ficar brava sendo capaz até de nos botar de castigo, não é?

Então, nossas ações são nossas variáveis x e y , no caso, levantar depois do horário e não arrumar a cama. Quando isso acontece, temos uma reação, ou seja, nossa variável z ou f x , y , que no caso foi nossa mãe ficar brava e pôr a gente de castigo.

Entendeu? Para cada valor de x e y , vamos ter um z (para cada ação, vamos ter uma reação)!

Passo 2

Na prática, funciona da seguinte maneira:

Temos a função que vamos esboçar o gráfico

f x , y = cos ⁡ x

O próximo passo é analisarmos o que esperamos de como será o gráfico.

Neste caso, como você acha que ele vai ser? Plano, ondulado, inclinado, curvo...?

Essa função vai nos perseguir durante toda a vida acadêmica, então é bastante importante ter familiaridade com funções trigonométricas.

Muito provavelmente você já viu a função cosseno em algum momento, mas se não lembra, vamos dar uma relembrada.

Este é o famoso circulo trigonométrico. Nele podemos ver alguns valores relacionados ao seno, cosseno e tangente.

O cosseno é o que está deitado e o seno é o que está em pé.

Quando x = 0 , cos ⁡ x = 1

Quando x = π 6 , cos ⁡ x = 3 2

Quando x = π 4 , cos ⁡ x = 2 2

Quando x = π 3 , cos ⁡ x = 1 2

E quando x = π 2 , cos ⁡ x = 0

Passo 3

Substituindo estes valores em um plano x z , onde f x = z , temos

Esse é o gráfico de um cosseno em um plano de duas dimensões, mas e em três dimensões? Como fica?

Bom, f x , y = cos ⁡ x não tem a variável y , então se x for constante, para todo o y a função vai ser igual.

Neste caso, é como se estivéssemos projetando f x , y através de um feixe de laser, onde a projeção de um laser forma um ponto na parede, mas no caminho até a parede, podemos ver uma reta

Da mesma forma é no caso de f x , y = cos ⁡ x , vimos sua projeção em um plano qualquer em y , mas em três dimensões, o que era uma linha ondulada, vira um plano ondulado.

Veja só

Se cortássemos o plano em qualquer plano perpendicular a y , vamos ter a curva f x que mostramos anteriormente.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Gráfico no Último Passo.

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