Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

PUCRIO - (Cálculo 2 - MAT1162) - G1 (Versão C) 2020.1

Considere a função f x , y = 4 x 2 + y 2 - 4 .

  1. Encontre o domínio e a imagem de f x , y .
  2. O gráfico de f x , y é uma quádrica? Se a resposta for sim, identifique a superfície e esboce o gráfico de f .
  3. Identifique as curvas de nível da função f e esboce um mapa de contorno. Explique a relação entre o mapa de contorno e o gráfico de f x , y .

Passo 1

Fala povo! Essa primeira letra é tranquilinha. Bem, a gente sempre pode entender uma função como uma máquina que transforma entradas em saídas. Nesse caso, em:

f x , y = 4 x 2 + y 2 - 4

Temos as entradas do tipo x e y e a saída f x , y . Se o domínio é o conjunto de entradas possíveis e não existe nenhuma raiz de número negativo, temos que impor a condição:

4 x 2 + y 2 - 4 ≥ 0

De forma que o domínio vira então o conjunto de valores x , y que tornam isso verdade, isto é:

D f = x , y ∈ I R 2           4 x 2 + y 2 - 4 ≥ 0

Agora, a imagem da função vai ser o conjunto de saídas que a função consegue entregar. Como não existe raiz par que resulte em número negativo, vamos ter:

I m f = f x , y ∈ I R           f x , y ≥ 0

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Passo 2

Agora, será que a curva de f x , y é uma quádrica? Pra ter certeza disso, a primeira coisa a se fazer é considerar z = f x , y e ir manipulando:

z = 4 x 2 + y 2 - 4

Eliminando a raiz, temos:

z 2 = 4 x 2 + y 2 - 4

Ta começando a parecer uma em! Como algumas quádricas tem um " = 1 " do lado direito e o único número aí é um 4 , vamos dividir os dois lados da equação por 4 pra fazer esse 1 aparecer:

z 2 4 = x 2 + y 2 4 - 1

Multiplicando os dois lados por - 1 , temos:

- z 2 4 = - x 2 - y 2 4 + 1

Passando os termos de x , y pro outro lado, temos:

x 2 + y 2 4 - z 2 4 = 1

E isso sim tem cara de uma quádrica! Pra padronizar ainda mais, isso é o mesmo que:

x - 0 2 1 2 + y - 0 2 2 2 - z - 0 2 2 2 = 1

O que é uma equação de um hiperboloide de uma folha, orientado com a abertura ao longo do eixo O z , como a imagem genérica abaixo:

Agora, note que partimos de z = f x , y ≥ 0 . Então não queremos essa imagem inteira. Ela tá certa também em relação ao centro, que segundo o nosso modelo vai ser 0,0 , 0 mesmo! Pra fechar nosso esboço, além de remover a parte de baixo, temos que achatar um pouquinho ela pra considerar o efeito das constantes que ficam em baixo de cada eixo, resultando nesse cara simpático aqui como um esboço legal:

Passo 3

Agora bora falar das curvas de nível. Bem galera, a gente não viu juntos que a superfície se projeta no eixo O z positivo? Oras, o que são então as curvas de nível se não cortes em alturas diferentes de z ? Vamos representar essas curvas de nível como projeções no plano x , y desses cortes. Ok? Definindo então:

z = f x , y = k

Com k ≥ 0 , afinal, ele deve estar dentro da imagem do hiperboloide, temos:

x - 0 2 1 2 + y - 0 2 2 2 - k - 0 2 2 2 = 1

x - 0 2 1 2 + y - 0 2 2 2 = 1 + k - 0 2 2 2

Se dividirmos tudo por:

1 + k - 0 2 2 2

Achamos:

x - 0 2 1 2 ∙ 1 + k - 0 2 2 2 + y - 0 2 2 2 ∙ 1 + k - 0 2 2 2 = 1

x 2 1 + k 2 4 + y 2 4 + k 2 = 1

x 2 4 + k 2 4 + y 2 4 + k 2 = 1

E olha só! Isso é exatamente a equação genérica de uma elipse centrada na origem, onde:

a 2 = 4 + k 2 4

b 2 = 4 + k 2

Como o formato da elipse depende de k , que é a altura do corte, chegamos a conclusão que as curvas de nível vão ser elipses com formatos variáveis, e podemos juntar todos numa imagem nesse esboço aqui:

OBS: Note que b > a independente de quem seja k , afinal a 2 = b 2 4 . Por esse motivo, as elipses estão mais espichadas na direção do eixo O y

Resposta

  1. D f = x , y ∈ I R 2           4 x 2 + y 2 - 4 ≥ 0 I m f = f x , y ∈ I R           f x , y ≥ 0
  2. Sim, a superfície é de uma quádrica, mais especificamente um hiperboloide de uma folha orientado com abertura na direção do eixo O z , centrado na origem e com z ≥ 0 . Os esboços da superfície e de suas curvas de nível são:

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