Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

3- Desenhe as curvas de nível f - 1 k : = x , y ∈ R 2 f x , y = k das funções de duas variáveis f a seguir para os valores de k dados:

d) f x , y = x + y ;   k = 1 ,   2 ,   4 ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão vamos ter que calcular as curvas de níveis da função f x , y . Ok, mas o que são curvas de níveis?

Curvas de níveis de uma função são obtidas a partir do corte na função a uma altura k do plano x y , formando uma curva correspondente à curva de nível na altura k .

Algo muito parecido com desenhos topográficos em Geografia.

Inicialmente temos uma função tridimensional, porém quando tiramos a curva de nível, obtemos uma função bidimensional, já que a variável z corresponde à altura.

Com isso podemos iniciar nossos cálculos, substituindo f x , y por k , temos

k = x + y

Isolando y em um lado temos

y = k - x

O próximo passo é substituir k pelos valores que foi solicitado.

Passo 2

Observe que y está em módulo, logo k - x deve ser ≥ 0 . Ou seja, x ≤ k .

Para o nível k = 1 , a função que representa a curva de nível é

y = 1 - x

Essa função não é tão intuitiva de se imaginar o gráfico, então podemos usar o método da tabelinha para encontrar pontos que contém a função, estimando valores para x , por exemplo

Com este método, obtemos os pontos A = - 1,0 , B = - 0.5 , - 0.5 , C = - 0.5,0.5 , D = 0 , - 1 , E = 0,1 , F = 0.3 , - 0.7 e G = 0.3,0.7 .

Vamos guardar estes pontos para plotarmos mais tarde.

Passo 3

Para o nível k = 2 , a função que representa a curva de nível é

y = 2 - x

Obtendo alguns pontos da função pelo método da tabelinha.

Os pontos que obtemos, foram H = - 2,0 , I = 1 , - 1 , J = 1,1 , K = 1.5 , - 0.5 e L = 1.5,0.5 .

Para o nível k = 4 , a função que representa a curva de nível é

y = 4 - x

Obtendo alguns pontos da função pelo método da tabelinha.

Para este nível, obtemos os pontos M = - 3.5 , - 0.5 , N = - 3.5,0.5 , O = - 2 , - 2 , P = - 2,2 , Q = 1 , - 3 e R = 1,3 .

Passo 4

Plotando os pontos que encontramos no plano x y

Ligando os pontos do mesmo nível, podemos esboçar as curvas.

Caso alguma curva não esteja tão clara, podemos estimar mais pontos no método da tabela.

As curvas de níveis para k = 1 , k = 2 e k = 4 , temos

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Para k = 1 , y = 1 - x

Para k = 2 , y = 2 - x

Para k = 4 , y = 4 - x

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