Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

Esboce o gráfico das funções a seguir:

b) f x , y = y

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão, foi solicitado que esbocemos um gráfico de f ( x , y ) , mas você acha que podemos fazer isso? 🤔

Esboçar um gráfico é traçar, de uma forma mais material, a imagem da função.

Uma função f x , y está contida em 3 dimensões, ou seja, dependendo de um determinado ponto em x e um determinado ponto em y , vamos ter uma imagem em z , com isso, podemos afirmar que na verdade f x , y = z .

Podemos comparar com uma lei muito famosa, a chamada 3° Lei de Newton ou lei da Ação e Reação. Essa lei da natureza diz que para cada ação, há uma consequência, por exemplo, se levantarmos tarde e deixar a cama desarrumada, nossas mães vão ficar bravas sendo capaz até de nos botar de castigo, não é?

Então, nossas ações são nossas variáveis x e y , no caso, levantar depois do horário e não arrumar a cama. Quando isso acontece, temos uma reação, ou seja, nossa variável z ou f x , y , que no caso foi nossas mães ficarem bravas e pôr a gente de castigo.

Entendeu? Para cada valor de x e y , vamos ter um z (para cada ação, vamos ter uma reação)!

Passo 2

Na prática, funciona da seguinte maneira:

Temos a função que vamos esboçar o gráfico

f x , y = y

O próximo passo é analisarmos o que esperamos de como será o gráfico.

Neste caso, como você acha que ele vai ser? Plano, ondulado, inclinado, curvo...?

Vemos que a função não possui x no lado direito da equação.

Nesse caso então, seguindo a analogia do que dissemos agora pouco, temos apenas uma ação.

Se a função não possui x , não importa se x é 0 ,   10 ,   1000 ,   100000 … indepentente de x a imagem de f x , y vai ser a mesma, o que vai influenciar é o valor de y .

Diante disso, podemos considerar inicialmente f x , y como f y .

Tá, mas e o bendito gráfico?

Passo 3

Uma maneira bastante intuitiva de elaborar um gráfico, é começar fazendo uma tabela atribuindo valor às variáveis para ver qual será a imagem formada, por exemplo

Substituímos o valor atribuído a y em f y e o resultado é a imagem que buscamos.

Passando esses pontos P = v a l o r   d e   y ,   r e s u l t a d o   f y para um plano cartesiano z y , onde A = - 2 , - 2 ,   B = - 1 , - 1 ,   C = 0,0 ,   D = 1,1 e E = 2,2 .

Estamos trabalhando em duas dimensões e como foi dito no início, f x , y está em 3 dimensões.

Ou seja, temos que voltar de f y para f x , y .

Sabemos que x independe, então como vamos fazer com a projeção do eixo x ?

Passo 4

No plano que plotamos os pontos anteriormente aparece como se estivéssemos na origem de x , ou seja, x = 0 , quando vamos para x = 1 , os pontos mudam?

Como f x , y não depende de x , a resposta é não, os pontos não mudam, assim como em x = 10 , x = - 40 ... ou seja, para o eixo x os pontos seguir sendo plotados na mesma coordenada em y e em z .

O que é uma sequência contínua de pontos?

Uma reta!

Logo, em 3 dimensões, os pontos vão se transformar em retas.

Unindo as retas, vamos ter um plano que será o resultado final do gráfico de f x , y !

Assim conseguimos plotar um gráfico em 3 dimensões

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Gráfico no passo 4.

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