Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

UFF, P1 Cálculo IIB prof. Rodrigo Salomão, exercício 2

Considere f x , y = ln x 2 + y 2 . Determine:

  1. O domínio de f x , y ;
  2. As curvas de nível e o gráfico de f x , y ;

Passo 1

a)

Essa é tranquila! A única expressão que poderia causar nessa função é o logaritmo, porque o termo dentro dele tem que ser estritamente positivo.

Mas, no caso, esse termo é x 2 + y 2 0 .

O único ponto em que x 2 + y 2 = 0 é a origem! Portanto, o domínio de f é todo o R 2 menos a origem.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Pra achar as curvas de nível, temos que igualar a função a uma constante qualquer k :

ln x 2 + y 2 = k

Vamos nos livrar desse logaritmo fazendo:

e ln x 2 + y 2 = x 2 + y 2 = e k

O termo e k é constante, portanto temos a equação de um círculo! Ele é centrado na origem e tem raio e k :

x 2 + y 2 = e k 2

Passo 3

Agora só resta esboçar as curvas de nível! Pro nível 0 por exemplo temos uma circunferência de raio 1 :

e k = e 0 = 1 = 1

Pro nível 1 o raio vale e , pro nível 2 ele vale e , assim sucessivamente podemos obter vários níveis. Tudo bem que alguns valores como e são difíceis de determinar de cabeça. Aqui é fundamental lembrar que e vale mais ou menos 2,7 .

Enfim, o mapa de contorno é uma sucessão de circunferências cujo raio vai aumentando conforme subimos de nível. Ele vai ficar assim:

Passo 4

Agora vamos pro gráfico!

As curvas de nível vão ser uma grande ajuda pra gente esboçar esse gráfico. Temos sempre que ter em mente que elas são “fatias” do gráfico. É como se você pegasse uma faca e cortasse o gr��fico em várias alturas na horizontal.

Enfim, além disso a gente tem a maneira mais oficial de visualizar o gráfico pra poder esboçá-lo, que é analisando as suas interseções com os planos coordenados.

Então vamos fazer isso!

Passo 5

Vamos começar lembrando o que já fizemos, que foi zerar a variável z ! Lembra? A curva de nível 0 da função nada mais é que a interseção do gráfico com o plano x y !

E obtivemos

x 2 + y 2 = 1 ,

a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 6

Agora vamos zerar o x :

x = 0 z = ln y 2

Pelas propriedades do logaritmo, temos

ln y 2 = 2 ln y

Portanto, a interseção do gráfico com o plano y z   tem equação

z = 2 ln y

E se você sabe esboçar o gráfico da função l n essa daí não é nenhum problema: basta dobrar os valores. Saca só:

Passo 7

E no plano x z , zerando a variável y , vamos ter a mesma coisa!

y = 0 z = ln x 2 = 2 ln x

Passo 8

Show, agora temos todos os elementos necessários pra fazer um bom esboço!

Então é mão na massa! Lembrando da cara do mapa de contorno e das interseções com os planos coordenados, obtemos o gráfico:

Resposta

a) Domínio: todo o R 2 menos a origem

b)

Mapa de contorno:

Gráfico:

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