Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.78 - 10(modificado)

Considere a função

f x , y = 7 - x 2 + y 2 ,     0 x 2 + y 2 16 25 - x 2 - y 2 ,     16 x 2 + y 2 25

a) Esboce o gráfico de z = f x , y .

b) Identifique a curva de nível que contém o ponto P 0 = 1 ,   3 .

Passo 1

a)

Essa função é diferente porque ela é definida por partes, mas isso não afeta muito nosso procedimento pra esboçar o gráfico.

Vamos começar vendo a parte de cima, quando 0 x 2 + y 2 16 . Temos:

z = 7 - x 2 + y 2

E aí, conseguiu identificar a Quádrica? E essa daqui?

z = x 2 + y 2

Vou dar uma dica: muitos usaram o nome dessa superfície pra falar do Fred da seleção brasileira na copa do mundo de 2014 :)

É a clássica equação de um cone! Ou melhor, sendo mais rigoroso, a metade superior de um cone circular:

Se você reconheceu essa mas não a outra, você provavelmente caiu no dibre da questão, que foi acrescentar um 7 , um sinal negativo, só pro aluno se perder.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Enfim, a superfície z = 7 - x 2 + y 2 vai ser que nem esse cone aí da figura mas virado pra baixo e deslocado de 7 pra cima no eixo z !

Também não podemos esquecer que estamos na região   0 x 2 + y 2 16 . Ou seja, como

z = 7 - x 2 + y 2

E o que tá dento da raiz tem que estar entre 0 e 16, temos

7 - 16 z 7 - 0

3 z 7

Perceba que na sua altura mínima, z = 3 , vamos ter uma circunferência de raio 4 :

z = 7 - x 2 + y 2

3 = 7 - x 2 + y 2

x 2 + y 2 = 7 - 3 = 4

x 2 + y 2 = 16

Depois o cone sobe até atingir o ponto do James Bond: 0 ,   0 ,   7 .

A partir disso tudo, podemos esboçar tranquilamente esse gráfico!

Passo 3

Mas ainda falta a outra parte da função, quando 16 x 2 + y 2 25 :

z = f x , y = 25 - x 2 - y 2

Vamos dar uma melhorada nisso elevando ao quadrado (mas tem que tomar cuidado, vou explicar o porquê):

z 2 = 25 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 + z 2 = 25 = 5 2

Isso é a equação de uma esfera de raio 5 centrada na origem!

Eu disse que temos que tomar cuidado quando elevamos ao quadrado porque a nossa função de origem é z = 25 - x 2 - y 2 0 . Então na verdade a superfície é a metade superior da esfera, show?

Passo 4

Agora, que nem fizemos pro cone, vamos ver como é limitada essa esfera.

Quando x 2 + y 2 = 16 temos

x 2 + y 2 + z 2 = 25

16 + z 2 = 25

z 2 = 9

z = ± 3

Mas vimos que z 0 , então nesse caso z = 3 .

Passo 5

Agora, quando x 2 + y 2 = 25 temos

x 2 + y 2 + z 2 = 25

25 + z 2 = 25

z = 0

Passo 6

Então o gráfico dessa parte da função é um pedaço de uma semiesfera de raio 5 centrada na origem, que vai da altura z = 0 até z = 3 .

Saca só o gráfico dela:

Passo 7

Mas ele pediu gráfico da função f . Pra isso basta juntar os 2 gráficos que achamos, o do cone com o da esfera!

Assim o gráfico de f é:

Passo 8

b)

Como essa função é definida por partes, a primeira coisa que temos que fazer é determinar em qual parte da função o ponto P 0 = 1 ,   3 se encontra. E isso vai ser bem simples, basta a gente calcular x 2 + y 2 pro ponto P 0 :

x 2 + y 2 = 1 2 + 3 2 = 1 + 3 = 4

E como 0 4 16 , temos que considerar a parte de cima da função, dada por

f x , y = 7 - x 2 + y 2

Passo 9

Assim, temos

f P 0 = 7 - 1 2 + 3 2 = 7 - 4 = 5

Portanto, o ponto P 0 pertence à curva de nível 5 da função. Vamos ver que curva é essa?

Passo 10

Igualando a equação da função a 5 :

f x , y = 7 - x 2 + y 2 = 5

x 2 + y 2 = 2

x 2 + y 2 = 2 2

Ótimo! Então a curva de nível que contém o ponto P 0 é uma circunferência de raio 2 centrada no ponto 0 ,   0 ,   5 .

Resposta

a)

b)

Uma circunferência de raio 2 centrada no ponto 0 ,   0 ,   5 .

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