Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2018.2, Questão 1abc

Considere as regiões do plano

R 1 = x , y R 2     y + 1 - x 2 0 }

R 2 = x , y R 2   2 y + x 1 }

Seja R = R 1 R 2

  1. Esboce R hachurado. Esboce ao lado a fronteira de R , denotada por F r ( R ) .
  2. Determine as constantes a , b R e as funções f ,   g   : a , b R tal que
  3. R = x , y R 2     f x y g x ,   a x b }

  4. Descreva o conjunto F r R x , y R 2   y 0 }   usando igualdades e desigualdades.

Passo 1

a )

Vamos lá galera, a questão aqui pede pra gente esboçar essa região, que na verdade é a interseção de duas regiões, vamos fazer cada uma de uma vez! Além disso, ele quer que a gente desenhe também somente a fronteira da região. Já que a prova pede, quem somos nós pra dizer não, né? Bora lá pros esboços.

Vamos começar pela região R 1 :

y + 1 - x 2 0

Se tivéssemos um sinal de igual, isolando o y , teríamos:

y = - 1 + x 2

E isso nada mais é do que uma parábola, com a concavidade virada para cima (pois o coeficiente do x é positivo) e que corta o eixo y em - 1 . Acontece que como temos o sinal de " " não estamos falando somente da parábola, mas sim de tudo que é maior ou igual a essa parábola. Ou seja, nossa região é isso daqui:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer o mesmo processo pra região R 2 .

2 y + x 1

Colocando sinal de igual e isolando o y :

y = 1 - x 2

E teríamos uma reta. Mas como temos aquele sinal de menor ou igual, na real o que temos é tudo o que está abaixo da reta, assim:

Passo 3

Agora, juntando as duas coisas, teremos a região R , assim:

E agora, para esboçar a fronteira, é só a gente tirar esse hachurado de dentro (porque a gente só quer o que está em volta) e tirar esse tracejado que não faz parte da nossa região, assim:

Passo 4

b )

Agora aqui na letra b a questão pede pra gente formalizar as coisas e definir matematicamente a nossa região R .

.

.

.

Pra que né?! Já não bastava ter que desenhar essa bagaça.............

Mas vamos lá né, fazer o que

.

.

.

Matematicamente, temos que ter

R = x , y R 2     f x y g x ,   a x b }

O desenho, para nos ajudar, é

Mas na real, se a gente parar pra pensar, eu reclamei só porque sou rabugenta, porque essa parte nem vai ser tão difícil assim. Olha só:

A gente definiu essa curva vermelha a partir da região R 1 e chegamos na equação da parábola:

y = - 1 + x 2

E definimos a curva azul (que na verdade é uma reta), a partir da região R 2 e chegamos em

y = 1 - x 2

Assim, as funções que definem a nossa região R são essas duas aí que a gente JÁ achou. Só precisamos dar nome aos bois.

Podemos dizer que

f x = - 1 + x 2

g x = 1 - x 2

Assim,

R = x , y R 2     - 1 + x 2 y 1 - x 2 ,   a x b }

Mas e o a e o b , quem são?

Ora, mais fácil ainda, só olhar na figura!

Nossa região tá indo de x = - 1,5 = - 3 2 até x = 1

Mas se você não acredita muito na figura, pode fazer também

- 1 + x 2 = 1 - x 2

Que você vai encontrar esses valores para x , tá bem?

Pra fechar a conta e passar a régua então, a definição matemática da nossa região R ficou

R = x , y R 2     - 1 + x 2 y 1 - x 2 ,   - 3 2 x 1 }

Passo 5

c )

Aqui na letra c a gente precisa dizer a parte da fronteira do nosso conjunto que está abaixo do eixo x , ou seja, onde y 0 .

Se olharmos nosso esboço

Vemos que abaixo do eixo x a fronteira é formada somente pela parábola.

Portanto, a interseção da fronteira de R com y 0 é dada pela parte da parábola com o x variando entre - 1 e 1 . Matematicamente, usando igualdades e desigualdades, como a questão pede:

F r R y 0 = x , y R 2   y = - 1 + x 2   ,   - 1 x 1 }

Resposta

a )

b )

R = x , y R 2     - 1 + x 2 y 1 - x 2 ,   - 3 2 x 1 }

c )

F r R y 0 = x , y R 2   y = - 1 + x 2   ,   - 1 x 1 }

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