Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 1, Questão 15

Esboce as curvas de nível e o gráfico da função

f x , y = e - x 2 - y 2

Passo 1

Para achar as curvas de nível da função, fazemos

f x , y = k

e - x 2 - y 2 = k

ln e - x 2 - y 2 = ln k

- x 2 - y 2 = ln k

- x 2 + y 2 = ln k

x 2 + y 2 = - ln k

Ou seja, temos circunferências centradas na origem e raio igual a ln k .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, mas não podemos ter raiz de número negativo né?

Então temos que ver para que valores de k , ln k < 0 .

Do gráfico da função logarítmica

Vemos que

ln k < 0   k < 1

Passo 3

Agora o que temos que fazer é variar os valores de k < 1 , ou seja, variar o raio do círculo.

Se k = 0,9 , temos

x 2 + y 2 = - ln 0,9 = 0,1

Se k = 0 , 8 , temos

x 2 + y 2 = - ln 0,8 = 0,2

Se k = 0,7 , temos

x 2 + y 2 = - ln 0,7 = 0,3

Ou seja, a medida que fazemos k ficar cada vez menor que 1 (mas ainda sempre maior que zero), o raio do nosso circulo vai ficando maior.

Dessa forma, nossas curvas de nível são vários círculos concêntricos, que vão ficando cada vez maiores, conforme diminuímos o valor de k .

E assim, como quanto maior (mais alto) o nosso plano k estiver, menor será nosso raio, nosso gráfico será:

Resposta

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