Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 1, Questão 36

Resolva as questões abaixo:

  1. Faça o gráfico da função y = f x = x ² . Escreva uma função F : R 2 R cuja curva de nível associado ao nível 0 é igual ao gráfico de f .
  2. Mais geralmente, dada uma função f : R R , escreva uma função F : R 2 R cuja curva de nível associada ao nível 0 é igual ao gráfico de f . O que você pode dizer a respeito das curvas de nível de F para níveis diferentes de 0?
  3. Seja z = f x , y = x 2 + y ² . Escreva uma função F : R 3 R cuja superfície de nível associado ao nível 0 é igual ao gráfico de f .
  4. Mais geralmente, dada uma função f : R ² R , escreva uma função F : R 3 R cuja superfície de nível associada ao nível 0 é igual ao gráfico de f . O que você pode dizer a respeito das curvas de nível de F para níveis diferentes de 0?

Passo 1

a )

Bom, isso é uma função de uma variável. Então, podemos desenhar essa parábola tranquilamente, como sabemos desde o ensino médio.

Agora precisamos escrever uma função de duas variáveis, que quando a igualarmos a zero (para achar a curva de nível zero), cheguemos na mesma expressão que essa equação de uma variável que acabamos de desenhar. Podemos fazer assim então:

g x , y = y - x 2

Assim, quando fizermos g x , y = 0 teremos

y - x 2 = 0

y = x 2

Que é exatamente a nossa função de uma variável.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Assim, podemos concluir que se temos uma função f de uma variável, para transformarmos numa função de duas variáveis que terá a curva de nível zero igual ao gráfico de f , basta fazermos:

g x , y = y - f ( x )

Se igualamos isso a zero, voltamos exatamente para a expressão de f .

Se igualarmos isso a outros níveis diferentes de zero, teremos

y - f x = k

y = f x + k

Que nada mais é do que o gráfico de f deslocado para cima (se k > 0 ) ou para baixo (se k < 0 ).

Passo 3

c )

Analogamente ao que a gente fez na letra a, vamos acrescentar a variável z e fazer:

g x , y , z = z - x 2 + y 2

Porque assim, quando igualarmos isso ao nível zero, voltaremos para a expressão da nossa função de duas variáveis.

Passo 4

-

d )

Do mesmo modo, podemos concluir que se temos uma função f de duas variável, para transformarmos numa função de três variáveis que terá a curva de nível zero igual ao gráfico de f , basta fazermos:

g x , y , z = z - f ( x , y )

Se igualamos isso a zero, voltamos exatamente para a expressão de f .

Se igualarmos isso a outros níveis diferentes de zero, teremos

z - f x , y = k

z = f x , y + k

Que nada mais é do que o gráfico de f deslocado para cima (se k > 0 ) ou para baixo (se k < 0 ).

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