Uma bola de boliche de raio R é lançada com velocidade v 0 sobre uma superfície plana horizontal, sem movimento rotacional. O coeficiente de atrito cinético entre a bola de boliche e a superfície é μ . Enquanto desliza, por causa do atrito com a superfície, a bola inicia um movimento rotacional, até que passa a descrever um movimento de rolamento, rolando sem deslizar.

  1. Calcule a aceleração do centro de massa e a aceleração angular da bola enquanto ela desliza sobre a superfície.
  2. Determine o instante de tempo no qual a bola passa a rolar sem deslizar.

Passo 1

Bem, temos uma bola de boliche que no instante t 0 = 0 encosta no chão começa a deslizar e a girar sobre a superfície. Depois de um instante t ela passa apenas a girar sem deslizamento:

Enquanto a bola de boliche desliza (antes do t ) ela tem duas acelerações: uma do centro de massa ( a c ) e outra aceleração angular ( α ) porque também ela dá início ao movimento circulatório.

Passo 2

L e t r a   A :     a c e l e r a ç ã o   a c

Para encontrar a aceleração do centro de massa, podemos olhar para o problema não rotacional (como se ela estivesse apenas deslizando). Nesse caso, as forças envolvidas no deslocamento da bolinha seriam...

A força peso P e a normal N se cancelam, pois não há movimento na vertical, logo...

N - P = 0     →         N = P

A única força na horizontal é a força de atrito F a e de acordo com a 2ª Lei de Newton...

F a = F R

Onde F R é a força resultante ( m a c )...

F a = - m a c

O motivo pelo qual eu inseri um menos foi apenas para indicar que a força de atrito está para a esquerda, ao tempo que a bola tem velocidade para a direita.

POW! Mas podemos calcular a força de atrito de acordo com as nossas teorias...

F a = N   μ e

E como N = P = m g ...

m g μ e = - m a c   →

a c = - g μ e

Passo 3

L e t r a   A :     a c e l e r a ç ã o   α

POW! Sabemos pela cinemática rotacional que o torque na bola que a faz girar é igual á...

τ = I α

Onde I é o momento de inércia rotacional. O momento para uma esfera é...

I = 2 5 m R 2

Então...

τ = 2 5 m R 2 α

Por outro lado, a única força que causa torque na esfera é à força de atrito. Como a esfera gira ao redor do seu eixo e a distância da F a ao eixo de giro da esfera é R ...

τ = F a R

Logo...

F a R = 2 5 m R 2 α   →

m g μ e R = 2 5 m R 2 α     →

g μ e = 2 5 R α     →

Isolando α ...

α = 5 g μ e 2 R

Passo 4

L e t r a   B :

Pow! Sabemos que a bola vai parar de deslizar quando ela tiver apenas rotação ω (velocidade angular) de modo que...

v c = ω R

A velocidade do centro de massa por outro lado pode ser dada por...

v c = v 0 + a c t   →

v c = v 0 - g μ e t  

Então...

v 0 - g μ e t = ω R

Por outro lado, a velocidade angular pode ser dada por...

ω = ω 0 + α t   →

Como a bola inicialmente não tem velocidade angular (bola não está girando)...

ω = 5 g μ e 2 R t

Ou seja...

v 0 - g μ e t = 5 g μ e 2 R t R     →

Simplificando agora...

v 0 - g μ e t = 5 g μ e 2 t   →

5 g μ e 2 t + g μ e t = v 0     →

7 g μ e 2 t = v 0     →

t = 2 v 0 7 g μ e

Resposta

Letra A:

a c = - g μ e           e             α = 5 g μ e 2 R

Letra B:

t = 2 v 0 7 g μ e

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