Uma conta de massa m = 300   g , enfiada em um aro circular de raio R = 1   m , situado em um plano vertical, está presa por uma mola de constante de mola k = 200   N / m ao ponto C , localizado no topo do aro. Na posição relaxada da mola, ela está localizada em B , o qual é o ponto mais baixo do aro. Se soltarmos a conta, a partir do repouso, do ponto A , que faz um ângulo de 60 ° com B , como indicado na figura 2.25 , com que velocidade ela atinge o ponto B ?

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo tranquilo?

Nessa questão temos uma conta que pode rodar guiada por um aro. Essa mola está presa a uma mola, que está relaxada quando a mola está em B .

Queremos soltar a conta do ponto A e calcular a velocidade com que ela irá passar pelo ponto B .

Para calcular essa velocidade, como a única força não dissipativa atuando é a normal (mas que é sempre perpendicular ao deslocamento da conta e por isso não realiza trabalho), podemos usar a conservação da energia mecânica entre os pontos A e B .

Vem com a gente que vai ficar bem clarinha a resolução 😊

Passo 2

Bom, a energia mecânica do sistema é composta por uma parcela de energia cinética e uma parcela de energia potencial. Ou seja:

E m e c = E c + E p o t

Vamos começar escrevendo a energia mecânica para o ponto A :

E m e c A = m v A 2 2 + m g h A + k Δ x 2 2

h A é altura que a conta se encontra no ponto A . Vamos tomar como referência o nível do ponto B . Ou seja, medimos a distância vertical entre A e B , isso é h A .

Já o Δ x da mola é o tanto que ela deformou em relação ao seu comprimento natural.

v A é a velocidade da conta no ponto A , como a conta é largada desse ponto, temos que:

v A = 0

Vamos usar um ponto de geometria para calcular h A e Δ x .

O comprimento natural da mola ocorre quando ela está alonga de C até B . Ou seja:

x 0 = 2 R

Vamos agora calcular o comprimento da mola quando ela está deformada de C até A , ou seja, vamos calcular A C .

Usando a lei dos cossenos, temos:

A C 2 = R 2 + R 2 - 2 R 2 ⋅ cos ⁡ 120 °

A C 2 = 2 R 2 1 - cos ⁡ 120 °

Como:

cos ⁡ 120 ° = - 1 2

Temos:

A C 2 = 3 R 2

∴ A C = 3 R

Excelente! Logo:

Δ x = x A - x 0

Δ x =   R ( 3 - 2 )

Pensando agora na altura h A , vamos ter:

h A = R - R ⋅ cos ⁡ 60 °

Como:

cos ⁡ 60 ° = 1 2

Temos:

h A = R 2

Logo, podemos finalmente escrever a energia mecânica do sistema em A como:

E M e c A = m g R 2 + k 3 - 2 2 2

Passo 3

Agora vamos escrever a energia mecânica do sistema em B :

E M e c B = m v B 2 2 + m g h B + k Δ x B 2 2

Como convencionamos o nível de referência da altura no próprio nível do ponto B , temos:

h B = 0

Além disso, em B o comprimento da mola é justamente o seu comprimento natural. Logo, ela não está deformada e temos:

Δ x B = 0

Assim:

E M e c B = m v B 2 2

Excelente!

Como a energia mecânica se conserva, podemos igualar as duas expressões:

m g R 2 + k 3 - 2 2 2 = m v B 2 2

Daí:

v B 2 = g R + k m 3 - 2 2

Vamos substituir os dados do enunciado:

R = 1   m

k = 200 N m

m = 300   g = 0,3   k g

Daí, temos:

v B 2 = 10 ⋅ 1 + 200 0,3 ⋅ ( 3 - 4 3 + 4 )

Logo:

v B = 10 ⋅ 1 + 200 0,3 ⋅ ( 7 - 4 3 )

∴ v B = 7,6   m / s

Prontinhooo! Matamos mais uma questão 😊

Vocês curtiram? Responde Aí!

Resposta

7,6   m / s

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