Um disco de raio R = 60   c m gira em torno do seu centro com período de rotação igual a T = π / 5   s , como ilustrado na figura. Considere que a figura representa o disco em t = 0   s .

a) Calcule a aceleração centrípeta do ponto A.

b) Forneça a posição x ,   y do ponto A em t = 3 π / 20   s .

c) Determine a velocidade escalar e angular do ponto B em t = 3   s .

d) Numa mesma figura, faça o gráfico de a × t dos pontos A e B no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ T .

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Partiu resolver esse problema sobre movimento circular!

O enunciado não deixou claro, mas a única coisa razoável que podemos tirar é que o disco executa um movimento circular uniforme de período T = π / 5   s . Com isso, podemos calcular a velocidade angular do disco:

ω = 2 π T = 2 π π / 5 → ω = 10   r a d / s

Vamos supor também que a distância do ponto A ao centro do disco é r A = R / 2 = 30   c m . A aceleração centrípeta desse ponto será

a A = ω 2 r A = 10 2 ⋅ 0,30 → a A = 30   m / s 2

Passo 2

Para resolver o item (b), vamos escrever as coordenadas x e y do ponto A em função do tempo. Quando o ângulo do ponto A com relação ao eixo x for θ , temos que

x t = r A cos ⁡ θ t                       y t = r A   s e n   θ t

Como o movimento é uniforme, temos

θ t = θ 0 + ω t

O ponto A parte do eixo x com t = 0 , de modo que θ 0 = 0 :

θ t = ω t = 10 t

Assim,

x t = r A cos ⁡ 10 t                   y t = r A   s e n   10 t

No instante t = 3 π / 20   s , temos

x = r A cos ⁡ 3 π 2                   y = r A   s e n 3 π 2

Logo,

x = 0                 y = - r A

Como r A = 30   c m , segue que

x ,   y = 0 ,   - 30   c m

Passo 3

No item (c), queremos achar as velocidades escalar e angular do ponto B. A velocidade angular é uma propriedade que independe da posição e como foi calculado no passo 1:

ω B = ω = 10   r a d / s

Para a velocidade angular:

v B = ω r B = 10 ⋅ 0,60 → v B = 6   m / s

Passo 4

A aceleração do ponto A já foi calculada no item (a):

a A = 30   m / s 2

Para o ponto B, temos

a B = ω 2 r B = 10 2 ⋅ 0,60 → a B = 60   m / s 2

Essas acelerações são constantes no tempo de modo que os gráficos são dados a seguir:

Com isso, finalizamos o problema 😉!

Resposta

a A = 30   m / s 2

x ,   y = 0 ,   - 30   c m

ω B = ω = 10   r a d / s                 e               v B = 6   m / s

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