No final de uma corda de massa m 1 e comprimento l está presa uma haste que gira com magnitude da velocidade angular ω . Na outra extremidade, está presa um objeto pontual de massa m 2 . Descubra a tensão na corda T ( r ) em função da distância r da haste.

Assuma que o raio da haste é muito menor que o comprimento da corda. Ignore os efeitos da gravidade e expresse sua resposta em termo das variáveis e constantes apresentadas no problema.

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Aqui temos uma corda de massa m 1 (podemos pensar nela como uma segunda haste já que iremos desconsiderar os efeitos da gravidade). Na ponta dessa corda está presa uma massa m 2 que não tem dimensões, portanto, temos uma corda de massa m 1 que gira em torno de um eixo com velocidade ω com uma massa m 2 presa em sua ponta! Precisamos encontrar a tensão T ( r ) , em que r é a distância do eixo de rotação para um ponto qualquer na corda! Parece um pouco complicado, não é?

Vamos tentar construir a expressão para a tensão avaliando a sua evolução ao longo da corda, lembrando do fato que a corda é uniforme, então a tensão ao longo de seu corpo está sempre relacionado a massas parciais que somam à massa total m 1 ! Saca só!

Passo 2

Em uma distância r qualquer da haste sobre a corda, temos uma tensão T ( r ) , como no esquema a seguir

em toda posição que escolhemos, teremos que a tensão será responsável pela aceleração centrípeta naquela posição, no entanto, ainda temos um corpo rígido na ponta. Como o movimento de um corpo rígido se dá sobre o centro de massa, vamos considerar que a segunda parte da barra é um corpo de massa m ' + m 2 na posição do centro de massa da segunda parte, dada por

l - r 2

e, portanto, temos que a tensão T ( r ) será relacionada a seguinte expressão

T ( r ) = ( m ' + m 2 ) ω 2 [ r + l - r 2 ] = ( m ' + m 2 ) ω 2 [ r + l 2 ]

Agora, precisamos analisar para descobrir quem é m ' ! Vamos lá!

Passo 3

Como temos que a corda é uniforme, a razão de quantidade de massa por comprimento é a mesma em qualquer pedacinho dela, portanto, podemos escrever que

m l = m ' l - r

ou seja, isolando m ' , obtemos

m ' = m l - r l

e a nossa tensão toma a forma

T ( r ) = ( m l - r l + m 2 ) ω 2 [ r + l 2 ] = m ω 2 [ l 2 - r 2 l ] + m 2 ω 2 [ r + l 2 ]

Essa é a expressão para a nossa tensão! Note que quando estivermos em r = l , teremos o movimento circular de um corpo de massa M = m + m 2 , como seria esperado! Mas a tensão tem valores diferentes ao longo da corda! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

T ( r ) = m ω 2 [ l 2 - r 2 l ] + m 2 ω 2 [ r + l 2 ]

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