Dois satélites estão orbitando a Terra em altitudes diferentes. Assuma que as órbitas são circulares e os satélites têm a mesma massa. Qual satélite possui maior velocidade linear v em torno da Terra? Qual satélite tem um maior período T ?

Passo 1

Eaew, tudo bem com você?

Aqui temos uma questão que trabalha alguns conceitos de movimento circular uniforme, os dois satélites têm a mesma massa, e estão em órbitas circulares em alturas diferentes. A força central atuando sobre os satélites é a força gravitacional dada por

F g = G m M T d 2

em que M T é a massa da Terra, e d é a distância do satélite, com m sua massa. A expressão acima será chave para resolvermos nosso problema! Lembrando que ela será a causa da nossa aceleração centrípeta! Consegue visualizar? Vem comigo!

Passo 2

Para o satélite (que chamaremos de satélite 1 ) que está mais baixo, temos que

G m   M T d 1 2 = m v 1 2 d 1           ( 1 )

em que usei a c = v 2 / R , já que a força gravitacional tem papel de força centrípeta, e o raio da circunferência é a distância do satélite! Temos algumas constantes que não conhecemos, mas não precisamos delas para responder nossa pergunta! Da mesma forma, temos para o satélite mais alto que

G m   M T d 2 2 = m v 2 2 d 2           ( 2 )

Precisamos agora comparar as duas equações acima, e ver quem é maior, v 1 ou v 2 ! Saca só!

Passo 3

Vamos fazer a razão entre a equação ( 1 ) e ( 2 ) , temos que

G m M T d 1 2 G m M T d 1 2 = m v 1 2 d 1 m v 2 2 d 2

lembrando que quando temos razões entre frações, nós precisamos manter a primeira e multiplicar pelo inverso da segunda, de forma que simplificando as constantes iguais, temos que

1 d 1 2 1 d 1 2 = v 1 2 d 1 v 2 2 d 2

que se torna

d 2 2 d 1 2 = v 1 2 d 1 d 2 v 2 2

simplificando as distâncias, temos que

d 2 d 1 = v 1 2 v 2 2

como temos que d 2 > d 1 , então a razão do lado esquerdo é maior que 1 , sendo assim

v 1 2 > v 2 2

a velocidade linear do satélite mais baixo é maior do que a velocidade linear do satélite mais alto! A primeira parte da questão é isso! Vamos tentar agora relacionar estas expressões ao período!

Passo 4

Temos que o período é o tempo que o satélite leva para dar uma volta completa ao redor da Terra, portanto, com a órbita é circular, temos que o percurso tem uma a seguinte circunferência

C = 2 π d

Como a velocidade é constante, podemos calcular o tempo que leva para percorrer essa distância como

T = 2 π d v

ou seja, para cada um dos satélites, temos que

T 1 = 2 π d 1 v 1           ( 3 )

e, também que

T 2 = 2 π d 2 v 2           ( 4 )

Agora é só comparar as duas! Vamos lá!

Passo 5

Fazendo a razão das equações ( 3 ) e ( 4 ) , temos que

T 1 T 2 = 2 π d 1 v 1 2 π d 2 v 2 = d 1 v 1 d 2 v 2

novamente, usando que a razão de frações mantém a primeira e multiplica pelo inverso da segunda, temos que

T 1 T 2 = d 1 v 1 v 2 d 2 = d 1 d 2 v 2 v 1

Como temos que d 1 < d 2 e que v 2 < v 1 , o produto das duas razões do lado direito é necessariamente < 1 , portanto, temos que a razão

T 1 T 2 < 1

Ou seja, o período do satélite 1 , T 1 , é menor que o período do satélite 2 , T 2 ! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

v 2 < v 1 e T 1 < T 2

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