Enunciado

Um corpo de massa m percorre, com velocidade angular constante ω , em sentido

anti-horário, uma trajetória circular de raio R , cujo centro C dista d da origem O do sistema de coordenadas x y , como mostra a figura.

Sabendo que o corpo está passando pelo ponto P no instante t   =   0 , a equação que descreve sua posição r →   em relação à origem do sistema de coordenadas, em função do tempo t , é dada por:

Os símbolos i ^ e j ^ representam vetores unitários, perpendiculares entre si, nas direções e sentidos dos eixos x e y, respectivamente.

Passo 1

Pra gente entender o que está acontecendo, vamos pensar que a trajetória tá centrada na origem. Considerando um instante qualquer, a posição que a partícula vai estar pode ser decomposta nas direções x e y

O que vai mudar quando a trajetória tá distante da origem vai ser só a componente da posição em x, pois a posiç em x está transladada de d, ou seja:

x = d + R c o s θ  

E em y fica tudo igual:

y = R sen ⁡ θ

Show até aqui?

Então temos que o vetor posição é:

r → t = d + R c o s θ   i ^ + R sen ⁡ θ j ^

Mas a gente tem informação de θ   ? Não!

Sabemos só que a velocidade angular é constante e vale ω . Então vamos usar a equação da posição angular em função do tempo, para um movimento uniforme:

θ t = θ 0 + ω t

θ 0 = 0

Pois no inicio do movimento a partícula está sobre o ponto P, no eixo x.

θ t = ω t

Substituindo, temos:

r → t = d + R c o s ( ω t )   i ^ + R sen ⁡ ( ω t ) j ^

Maravilha!

Resposta

r → t = d + R c o s ( ω t )   i ^ + R sen ⁡ ( ω t ) j ^

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