Um disco, um anel e uma esfera maciça de mesmo raio e massa descem rolando num plano inclinado, sem deslizar. É correto afirmar que:

  1. a esfera chega primeiro na base do plano inclinado;
  2. o anel chega primeiro na base do plano inclinado;
  3. chegaram juntos na base do plano inclinado;
  4. o disco chega antes que a esfera na base do plano inclinado
  5. o disco chega primeiro na base do plano inclinado;

Passo 1

Nesse problema vamos estudar a famosa “corrida maluca” entre o disco, o anel e a esfera...

Para a gente analisar a corrida a fazer uma projeção de quem vai ganhar, uma boa ideia é usar o fato de que todas partem de uma mesma altura h , portanto a energia potencial inicial é a mesma para todo mundo.

Ao descer a rampa ela vai transformar essa energia ( E h ) em cinética rotacional ( E ω ) e energia cinética translacional ( E v ).

E h = E ω + E v   →

M g h = 1 2 I ω 2 + 1 2 M v 2

Onde ω é a velocidade angular e v é a velocidade tangencial. Mas lembre-se de que uma se relaciona com a outra em um movimento circular...

v = ω r         o u         ω = v / r

Bem, como a gente quer encontrar a velocidade v em todos os casos e depois compara-las, acho mais interessante primeiro trabalhar com uma equação neutra...

  M g h = 1 2 I v r 2 + 1 2 M v 2

A que vai ter maior velocidade v e é a que ganhará a corrida.

Bora?

Passo 2

  M g h = 1 2 I v r 2 + 1 2 M v 2

Para simplificar ainda mais essa equação, repare que podemos multiplicar todo mundo por 2 / M ...

2 M M g h = 1 2 2 M I v 2 r 2 + 1 2 2 M M v 2   →

Assim, cortando quem tem que ser cortado...

2 g h = I M r 2 v 2 + v 2   →

v 2 I M r 2 + 1 = 2 g h   →

Isolando v ...

v 2 = 2 g h I M r 2 + 1   →

v = 2 g h I M r 2 + 1  

Passo 3

Conclusão, a que tiver menor valor da taxa I / M R 2 será a que terá maior valor de velocidade e, portanto, será a que vai ganhar a corrida.

POW! Quanto mais a massa tiver mais concentrado próximo do centro, menor será o valor de...

I M r 2

Nos três casos, a que tem uma maior concentração de massa próximo ao centro é a esfera por ter uma geometriza 3 D . Logo, que vai ter a maior velocidade será a esfera, seguido pelo disco e por último o anel.

Então a esfera ganha a corrida

Resposta

Letra A.

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