Uma partícula se move em uma trajetória circular horizontal no plano x - y , com velocidade escalar constante. No instante t 1 = 4 s , a partícula possui velocidade v → 1 = ( 3   m / s ) j ^ e aceleração no sentido positivo de x . No instante t 2 = 10   s , a partícula possui velocidade v → 2 = ( - 3   m / s ) i ^ e aceleração no sentido positivo de y . Considere a diferença t 2 - t 1 é menor que um período de rotação.

c ) Encontre o raio do círculo e o módulo da aceleração centrípeta.

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos aqui uma partícula se movendo em uma trajetória circular sobre o plano x - y , o enunciado nos dá algumas informações sobre instantes da trajetória, como por exemplo, nos indica que no instante t 1 = 4   s , a velocidade da partícula é tal que

v → 1 = ( 3   m / s ) j ^

da mesma forma, temos que em t 2 = 10   s , a velocidade é tal que

v → 2 = ( - 3   m / s ) i ^

O enunciado também nos dá informações sobre a direção da aceleração nestes dois instantes, no primeiro instante a aceleração está no sentido positivo de x , e no segundo instante, está no sentido positivo de y . Por último, nos é afirmado que t 2 - t 1 < T , em que T é um período de rotação! Belezinha?

Precisamos encontrar agora o raio desta circunferência e a aceleração centrípeta relacionada ao movimento circular uniforme! Como faremos isso? Saca só, na última alternativa obtivemos que o período de rotação é

T =   24   s

Com isso podemos lembrar a definição de velocidade para obter o nosso raio, e tendo esta informação em mãos, a definição de aceleração centrípeta nos dará o resultado final diretamente! Vamos lá!

Passo 2

Saca só, a velocidade é definida como um deslocamento sobre um intervalo de tempo! Ou seja, se considerarmos uma circunferência completa de raio R , temos que

| v → | = 2 π R T

como temos que a velocidade escalar é constante, podemos isolar o nosso raio como

R = | v → | T 2 π = ( 3 ) ( 24 ) 2 π

ou, simplesmente

R ≈ 11,46   m

Maravilha! Vamos usar essa informação junto com a definição de aceleração centrípeta! Saca só!

Passo 3

A definição de aceleração centrípeta é

a c → = | v → | 2 R   R ^ = 3 2 11,46 R ^

em que R ^ é o versor que aponta para o centro do círculo. Avaliando a razão, temos que

a c → ≈ ( 0,78   m / s 2 ) R ^

Mais uma alternativa já era! Vamo que vamo para a próxima! Até jajá!

Resposta

R ≈ 11,46   m e a c → ≈ ( 0,78   m / s 2 ) R ^

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