Um projétil de massa m se move para direita com velocidade v i conforme figura ao lado. O projétil atinge e adere à extremidade de uma barra de massa M , comprimento d , que pode rotacionar em torno de um eixo que passa pelo centro. (a) Encontre a velocidade angular do sistema logo após a colisão. (b) Determine a perda de energia mecânica devido à colisão.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma bolinha (projétil) que colide com uma barra e faz ela rotacionar em torno de um eixo. E ele pede pra gente determinar a velocidade angular e a perda de energia mecânica do sistema depois da colisão.

Vamos começar tratando o projeto e a barra como um sistema isolado, que não experimenta torque externo. Então, nosso momento angular é conservado:

L f = L i

Como o momento angular pode ser dado pelo produto entre o momento de inércia e a velocidade angular ω , vamos usar essa relação para encontrar a velocidade angular do sistema.

Em seguida, vamos usar a velocidade angular para encontrar a variação de energia mecânica do sistema, que é apenas cinética após a colisão.

Vamos lá!

Passo 2

O momento angular inicial do sistema é dado pelo momento angular da partícula mais o momento angular da barra:

L i = L p a r t í c u l a + L b a r r a

L i = m v i d 2 + 0 = m v i d 2

Onde m e v i são a massa e velocidade da partícula, respectivamente.

O nosso momento angular final vai ser dado pelo produto entre o momento de inércia I t o t a l e a velocidade angular ω :

L f = I t o t a l ω

O momento de inércia total, I t o t a l , é dado pelo momento de inércia da barra retangular mais o momento de inércia da partícula:

I t o t a l = I p a r t í c u l a + I b a r r a

I t o t a l = 1 2 M d 2 + m d 2 2

I t o t a l = d 2 ( M + 3 m ) 12

Onde M é a massa da barra e d comprimento da barra.

Passo 3

Com essas equações em mãos, nós conseguimos usar a relação:

L f = L i

I t o t a l ω = m v i d 2

Substituindo o momento de inércia e o momento angular inicial:

d 2 M + 3 m 12 ω = m v i d 2

Isolando ω :

ω = 6 m v i d ( M + 3 m )

E encontramos nossa velocidade angular.

Passo 4

Repare que agora ele pede a perda de energia mecânica devido à colisão. Essa energia vai ser igual a variação de energia cinética:

Δ K = K f - K i

Nossa energia cinética inicial é dada por:

K i = 1 2 m v i 2

Porque temos apenas o movimento da partícula. Após a colisão, temos uma energia cinética rotacional, que é dada pela fórmula:

K f = 1 2 I t o t a l ω 2

No passo anterior, nós encontramos I t o t a l e ω . Substituindo os resultados que encontramos:

K f = 1 2 d 2 M + 3 m 12 6 m v i d ( M + 3 m ) 2

K f = 3 m 2 v i 2 2 M + 3 m

Então, nossa variação de energia será:

Δ K = 3 m 2 v i 2 2 M + 3 m - 1 2 m v i 2

Δ K = m M v i 2 2 ( M + 3 m )

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

ω = 6 m v i d ( M + 3 m )

Δ K = m M v i 2 2 ( M + 3 m )

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