Calcule as seguintes integrais de superfícies:

a )   ∫ ∫ S y d σ , onde S é a superfície dada por z = x + y 2 ,   0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 2 ;

Passo 1

Eaí gente bonita, tudo na paz com vocês?

Nessa questão temos que calcular a nossa famosa integral de superfície no caso escalar (não temos um campo vetorial).

Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?

Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S f x , y , z d S

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função f ( x , y , z ) como função da parametrização

f ϕ u , v

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

N → = ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S f x , y , z d S = ∫ ∫ D f ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso escalar.

Então, bora usar essa ideia na integral pedida no enunciado e matar mais um item 😊

Passo 2

Precisamos calcular:

∫ ∫ S y d σ

onde S é a superfície dada por z = x + y 2 ,   0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 2 .

Ou seja, comparando com o caso geral dado no passo anterior:

∫ ∫ S f x , y , z d S

Temos:

f x , y , z = y

Massa!

Vamos então seguir a receita de bolo que comentamos anteriormente.

1 )   Parametrizar a superfície S :

Podemos usar a própria parametrização explícita.

Temos que:

z = x + y 2  

Então, podemos escrever a superfície como:

ϕ x , y = ( x ,   y ,   x + y 2 )

2 )   Escrever a função f ( x , y , z ) como função da parametrização:

Nesse caso, teremos a mesma função pois usamos y como um dos parâmetros da parametrização. Assim:

f ϕ x , y = y

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

Vamos lá, encontramos que:

ϕ x , y = ( x ,   y ,   x + y 2 )

Assim:

∂ ϕ ∂ x = ( 1 ,   0 ,   1 )

Já se tomarmos a derivada parcial com relação a y , teremos:

∂ ϕ ∂ y = ( 0,1 , 2 y )

Muito bom! Vamos então calcular o produto vetorial:

∂ ϕ ∂ x × ∂ ϕ ∂ y = i j k 1 0 1 0 1 2 y

= - 1 ⋅ i - 2 y ⋅ j + 1 ⋅ k

= ( - 1 ,   - 2 y ,   1 )

Calculando o módulo desse vetor, que é o vetor normal, temos:

N → = - 1 2 + - 2 y 2 + 1 2

= 1 + 4 y 2 + 1

Logo:

N → = 2 + 4 y 2

Perfeito!

Por fim, o nosso penúltimo passo é:

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S f x , y , z d S = ∫ ∫ D f ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

Montando essa integral, vamos ter:

∫ ∫ S y d σ = ∫ ∫ D y ⋅ 2 + 4 y 2 d y d x

Usando ainda que:

0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 2

Temos:

∫ 0 1 ∫ 0 2 y ⋅ 2 + 4 y 2 d y d x

Excelente pessoal! Vamos agora resolver essa integral dupla normalzinha 😊

Passo 3

Nossa missão é resolver a integral:

∫ 0 1 ∫ 0 2 y ⋅ 2 + 4 y 2 d y d x

Na integral de dentro, temos:

∫ 0 2 y ⋅ 2 + 4 y 2 d y

Para resolvê-la, vamos fazer a seguinte mudança de variável:

2 + 4 y 2 = u

∴ 8 y d y = d u

∴ d y = d u 8 y

Além disso, os limites de integração irão se tornar:

2 + 4 ⋅ 0 2 = u i = 2

E:

2 + 4 ⋅ 2 2 = u f = 1 8

Logo, temos a integral:

∫ 0 2 y ⋅ 2 + 4 y 2 d y = ∫ 2 1 8 u ⋅ d u 8

Colocando as constantes pra fora, ficamos com:

1 8 ⋅ ∫ 2 1 8 u 1 2 d u

= 1 8 ⋅ 2 3 ⋅ u 3 2 2 1 8  

= 1 8 ⋅ 2 3 ⋅ 1 8 3 2 - 2 3 2

Assim, a integral de dentro, se resulta em:

∫ 0 2 y ⋅ 2 + 4 y 2 d y = 13 2 3

Substituindo na nossa integral dupla, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 2 y ⋅ 2 + 4 y 2 d y d x

= 13 2 3 ⋅ ∫ 0 1 d x

= 13 2 3  

Prontinho galera! Essa é a resposta da nossa integral de superfície!

Até a próxima 😊

Resposta

13 2 3

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