1. Calcule a integral de superfície:

c) ∫ ∫ S x 2 z + y 2 z d S , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos um caso escalar de integral de superfície onde nossa superfície é dada pela equação x 2 + y 2 + z 2 = 4 porém para quando z ≥ 0 .

Já sabe o que fazer nesses casos?? 🤔🤔

A princípio, nós vamos parametrizar a região S , implementar a parametrização

às variáveis da função de integração e obter o modulo do vetor normal a S . A partir daí, definimos os limites de integração com base na nossa parametrização.

O vetor normal a S é obtido quando parametrizamos a superfície e derivamos a parametrização.

Podemos começar a partir daqui! O que acha? 😁

Passo 2

A equação que define nossa superfície é x 2 + y 2 + z 2 = 4 , ou seja, uma esfera de raio 2 . Se a gente definir x como 2 s e n ϕ cos ⁡ θ , y como 2 s e n ϕ s e n θ e z como 2 cos ⁡ ϕ lembrando lá de coordenadas esféricas

Logo, nossa parametrização é

P = 2 s e n ϕ cos ⁡ θ , 2 s e n ϕ s e n θ ,   2 cos ⁡ ϕ

Derivando essa parametrização com relação a ϕ , temos

∂ P ∂ ϕ = ∂ 2 s e n ϕ cos ⁡ θ , 2 s e n ϕ s e n θ ,   2 cos ⁡ ϕ ∂ ϕ

Pelo teorema fundamental do cálculo, lembramos que a derivada do s e n é c o s e a derivada do c o s é - s e n . Logo

∂ 2 s e n ϕ cos ⁡ θ ∂ ϕ = 2 c o s ϕ cos ⁡ θ

∂ 2 s e n ϕ s e n θ ∂ ϕ = 2 c o s ϕ sen ⁡ θ

∂   2 cos ⁡ ϕ ∂ ϕ = - 2 s e n ϕ

Juntando essas informações, temos que a derivada de P com relação a ϕ é

∂ P ∂ ϕ = 2 c o s ϕ cos ⁡ θ ,   2 c o s ϕ sen ⁡ θ ,   - 2 s e n ϕ

Agora vamos derivar P com relação a θ . Lembrando das mesmas relações das derivadas do teorema fundamental do calculo

∂ P ∂ θ = ∂ 2 s e n ϕ cos ⁡ θ , 2 s e n ϕ s e n θ ,   2 cos ⁡ ϕ ∂ θ

Derivando a primeira coordenada

∂ 2 s e n ϕ cos ⁡ θ ∂ θ = - 2 s e n ϕ sen ⁡ θ

A segunda coordenada

∂ 2 s e n ϕ s e n θ ∂ θ = 2 s e n ϕ c o s θ

Na terceira coordenada como não temos θ

∂ 2 cos ⁡ ϕ ∂ θ = 0

Ou seja

∂ P ∂ θ = - 2 s e n ϕ sen ⁡ θ ,   2 s e n ϕ c o s θ , 0

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

O vetor normal a S é justamente o produto vetorial entre ∂ P ∂ θ e ∂ P ∂ ϕ .

N = ∂ P ∂ θ x ∂ P ∂ ϕ = i j k - 2 s e n ϕ sen ⁡ θ 2 s e n ϕ c o s θ 0 2 c o s ϕ cos ⁡ θ 2 s e n ϕ s e n θ - 2 s e n ϕ

Calculando esse determinante, temos

N = - 4 s e n 2 ϕ   c o s θ i - 4 s e n 2 ϕ sen ⁡ θ j + 4 c o s ϕ s e n ϕ co s 2 ⁡ θ + 4 s e n ϕ cos ⁡ ϕ s e n 2 θ k

Podemos reescreve-lo como

N = - 4 s e n 2 ϕ   c o s θ , - 4 s e n 2 ϕ sen ⁡ θ , 4 c o s ϕ s e n ϕ co s 2 ⁡ θ + 4 s e n ϕ cos ⁡ ϕ s e n 2 θ

Colocando 4 c o s ϕ s e n ϕ em evidencia no ultimo termo, temos

4 c o s ϕ s e n ϕ co s 2 ⁡ θ + s e n 2 θ

Sabemos que co s 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1 , logo reescrevemos N como

N = - 4 s e n 2 ϕ   c o s θ , - 4 s e n 2 ϕ sen ⁡ θ , 4 c o s ϕ s e n ϕ

Calculando o modulo desse vetor, temos

N = - 4 s e n 2 ϕ   c o s θ 2 + - 4 s e n 2 ϕ sen ⁡ θ 2 + 4 c o s ϕ s e n ϕ 2

Muito grande, não é? Vamos ver se podemos diminuir um pouco

N = 16 s e n 4 ϕ   c o s 2 θ + 16 s e n 4 ϕ se n 2 ⁡ θ + 16 c o s 2 ϕ s e n 2 ϕ

Colocando 16 s e n 4 ϕ em evidencia nos dois primeiros termos

N = 16 s e n 4 ϕ   c o s 2 θ + se n 2 ⁡ θ + 16 c o s 2 ϕ s e n 2 ϕ

Como sabemos que c o s 2 θ + se n 2 ⁡ θ = 1 , temos

N = 16 s e n 4 ϕ + 16 c o s 2 ϕ s e n 2 ϕ

Podemos colocar 16 s e n 2 ϕ em evidência, veja só

N = 16 s e n 2 ϕ c o s 2 ϕ + s e n 2 ϕ

Novamente lembramos da relação c o s 2 ϕ + s e n 2 ϕ = 1

N = 16 s e n 2 ϕ

Simplificando o resultado

N = 4 s e n ϕ

Estava assustador no início, não é? Agora encontramos um termo bem pequeno para trabalhar!

Passo 4

Convertendo as coordenadas da função de integração para a as coordenadas da parametrização P , temos

f x , y , z = x 2 z + y 2 z

f P ϕ , θ = 2 s e n ϕ cos ⁡ θ 2 2 cos ⁡ ϕ + 2 s e n ϕ s e n θ 2 2 cos ⁡ ϕ

Desenvolvendo os quadrados, temos

f P ϕ , θ = 8 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ co s 2 ⁡ θ + 8 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ s e n 2 θ

Que tal a gente colocar 8 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ em evidência? Veja só

f P ϕ , θ = 8 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ co s 2 ⁡ θ + s e n 2 θ

Como co s 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1 , logo

f P ϕ , θ = 8 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ

O que resta é obter os limites de integração para ϕ e θ .

Lembra lá das coordenadas esféricas?

θ é o ângulo com relação ao semieixo positivo x e ϕ é o ângulo em relação ao semieixo positivo z que a superfície existe.

Como nossa superfície é uma semiesfera centrada na origem, θ dá toda a volta no plano x y , logo θ varia de 0 a 2 π !

Para ϕ , foi dito no enunciado que estamos interessados apenas em z ≥ 0 , ou seja, a parte de cima da esfera, logo vemos que ϕ varia entre 0 e π / 2 .

Logo, os limites de integração para ϕ e θ são

0 ≤ ϕ ≤ π / 2 0 ≤ θ ≤ 2 π

Com esses resultados que obtemos, nossa integral será

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 8 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ 4 s e n ϕ d ϕ d θ

Estamos chegando na reta final! 🤩

Está acompanhando?

Passo 5

Podemos iniciar os cálculos da nossa integral!

Organizando um pouquinho mais, temos

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 32 s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ d θ

Vamos começar integrando com relação a ϕ

Aplicando o método de substituição u d u fazendo u = s e n ϕ e d u = cos ⁡ ϕ , ou seja

∫ 32 u 2 d u

Pelo método de integração polinomial, temos

∫ 32 u 2 d u = 32 u 2 + 1 2 + 1 = 32 u 3 3

Voltando u para s e n ϕ

∫ 32 s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ = 32 s e n 3 ϕ 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π 2 32 s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ = 32 s e n 3 π 2 3 - 32 s e n 3 0 3

∫ 0 π 2 32 s e n 3 ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ = 32 3

Agora com base nesse resultado, integramos com relação a θ

∫ 32 3 d θ

Como nossa função de integração é uma constante, sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração!

∫ 32 3 d θ = 32 θ 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 32 3 d θ = 32 2 π 3 - 32 0 3

∫ 0 2 π 32 3 d θ = 64 π 3

Com isso, chegamos a conclusão de que a integral de superfície dada no enunciado é igual a 64 π 3 !

∫ ∫ S x 2 z + y 2 z d S = 64 π 3

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ ∫ S x 2 z + y 2 z d S = 64 π 3

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