Enunciado

Calcule a integral de superfície

∬ S z + x 2 y d S

onde S é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 1 que esta entre os planos x=0 e x=3 no primeiro octante.

Passo 1

Pra começar essa questão, vamos parametrizar!

Na parametrização de um cilindro temos:

y = R cos ⁡ θ  

z = R   s e n   θ

x = x

y 2 + z 2 = R 2 → x 2 + y 2 = 1 → R = 1

Então:

r x , θ = ( x ,   c o s θ ,   s e n θ )

Passo 2

Para observar nossos intervalos de variação, vamos dar uma olhada no esboço.

Com esse esboço a gente percebe que o x varia entre 0 e 3, que são os planos limitantes, e o θ , que gira em torno de x nessa situação, lembrando que estamos trabalhando segundo o enunciado só com o primeiro octante. Então, θ vai de 0 a π 2 .

Passo 3

Bom, bora montar noss integral então:

∬ S s e n   θ + x 2 c o s θ d S

Lembrando que o dS é:

d S = N d A

N = ∂ r ∂ x X ∂ r ∂ θ

∂ r ∂ x = 1,0 , 0

∂ r ∂ θ = ( 0 , - s e n   θ , cos ⁡ θ )

∂ r ∂ x X ∂ r ∂ θ = i j k 1 0 0 0 - s e n θ c o s θ

= ( 0 , - c o s θ ,   - s e n θ )

Então ficamos com:

N = 0 2 + - cos ⁡ θ 2 + - s e n   θ 2 = 1

Passo 4

Pra finalizar, levando tudo oque a gente tem pra integral ficamos com:

∫ 0 π 2 ∫ 0 3 s e n   θ + x 2 c o s θ . 1 . d x   d θ

∫ 0 π 2 ( 3   s e n   θ + 9 cos ⁡ θ )   d θ

= 12  

Resposta

12

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