(Capítulo 15.6 – Exercício 1) Determine a área da superfície.

A parte do plano z = 2 + 3 x + 4 y que está acima do retângulo 0,5 × 1,4 .

Passo 1

Faaala galera! Nesse exercício, queremos encontrar a área do plano z = 2 + 3 x + 4 y que esteja acima do retângulo 0,5 × 1,4

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Então vamosss

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = f x , y . Sendo assim

z = 2 + 3 x + 4 y

∂ z ∂ x = 3

∂ z ∂ y = 4

Legal, já temos as derivadas parciais. Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + 3 2 + 4 2 d A = ∬ D 26 d A

Passo 3

Como estamos trabalhando em uma região retangular, pelo Teorema de Fubini, tanto faz a ordem de integração. Logo,

A S = ∫ 0 5 ∫ 1 4 26 d y d x

Integrando em y :

A S = ∫ 0 5 26 y 1 4   d x

A S = ∫ 0 5 26 . 4 - 26 . 1   d x

A S = ∫ 0 5 3 26   d x

E agora integrando em x :

A S = 3 26 . x 0 5

A S = 3 26 . 5 - 3 26 . 0

Entãooo:

A S = 15 26

E fim 😊

Resposta

A S = 15 26

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