Dada a função f :   C →   C , f z = e z é correto afirmar:

  1. ∫ f z d z = 2 π i para C dado por z = 1
  2. f é analítica
  3. d f z d z = e z
  4. ∫ z 1 z 2 f z d z   = e z 2 - e z 1
  5. ∫ f ( z ) d z = 0 para o caminho fechado C.

Passo 1

Vamos analisar cada afirmação:

1. ∫ f ( z )   d z   =   2 π i para C dado por |z| = 1:

Essa afirmação está relacionada ao Teorema dos Resíduos e à integral de uma função analítica em torno de um caminho fechado. No caso da função f z = e z , a integral ∫ f z d z ao longo de um círculo unitário | z |   =   1 resultará em 2 π i , conforme o Teorema dos Resíduos.

2. f é analítica:

Sim, a função f z = e z é analítica em todo o plano complexo. Ela é a função exponencial complexa e possui derivadas em todas as partes do plano complexo.

Passo 2

3. d f z / d z = e z :

Isso está correto. A derivada da função f z =   e z em relação a z é igual a ela mesma:

d f z d z =   e z

4. ∫ z 1 z 2 f z d z =   e z 2 –   e z 1 :

Essa afirmação está correta. A integral da função f z =   e z entre dois pontos z 1 e z 2 no plano complexo é igual à diferença entre os valores de e z 2   e e z 1 .

5. ∫ f z d z   =   0 para o caminho fechado C:

Isso não é verdade. A função exponencial complexa não possui um período real, o que significa que não se repete em intervalos finitos no plano complexo. Portanto, a integral ∫ f ( z )   d z ao longo de um caminho fechado geralmente não será igual a zero, a menos que a funç��o seja constante (o que não é o caso para a função exponencial).

Passo 3

Resumindo, as afirmações 1, 2, 3 e 4 estão corretas, enquanto a afirmação 5 é incorreta.

Resposta

As afirmações 1, 2, 3 e 4 estão corretas, enquanto a afirmação 5 é incorreta.

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