Calcule as seguintes integrais de superfícies:

c )   ∫ ∫ S y z d σ , onde S é a parte do plano z = y + 3 limitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 ;

Passo 1

Ooi pessoal, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos que calcular a nossa famosa integral de superfície no caso escalar (não temos um campo vetorial).

Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?

Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S f x , y , z d S

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função f ( x , y , z ) como função da parametrização

f ϕ u , v

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

N → = ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S f x , y , z d S = ∫ ∫ D f ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso escalar.

Então, bora usar essa ideia na integral pedida no enunciado e matar mais um item 😊

Passo 2

Bom, no enunciado nos foi dada:

∫ ∫ S y z d σ

Assim, temos que:

f x , y , z = y z

Além disso, a superfície dada trata-se do plano:

z = y + 3

Na parte que é limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Vamos seguir nossa receitinha de bolo!

1 )   Parametrizar a superfície S :

A superfície S é a parte do plano que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Para entender melhor, vamos esboçar essa região:

A nossa região de interesse é uma elipse dentro do plano. Para parametrizar essa superfície, vamos usar a parametrização elíptica:

x = r c o s θ y = r s e n θ

onde 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≥ 2 π .

Além disso, pela relação de z , temos:

z = r s e n θ + 3

Perfeito então! Temos a parametrização:

ϕ r , θ = ( r c o s θ , r s e n θ , r s e n θ + 3 )

Massa! Vamos para a próxima etapa.

Passo 3

2 )   Escrever a função f ( x , y , z ) como função da parametrização:

Vimos que a nossa função f vale:

f x , y , z = y z

Mas, pela parametrização:

y = r s e n θ z = r s e n θ + 3

Logo:

f ϕ r , θ = r s e n θ r s e n θ + 3

= r 2 s e n 2 θ + 3 r s e n θ

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

Vamos lá, encontramos que:

ϕ r , θ = ( r c o s θ , r s e n θ , r s e n θ + 3 )

Assim:

∂ ϕ ∂ r = ( c o s θ , s e n θ ,   s e n θ )

Já se tomarmos a derivada parcial com relação a y , teremos:

∂ ϕ ∂ θ = - r s e n θ , r c o s θ , r c o s θ

Muito bom! Vamos então calcular o produto vetorial:

∂ ϕ ∂ r × ∂ ϕ ∂ θ = i j k c o s θ s e n θ s e n θ - r s e n θ r c o s θ r c o s θ

N → = - r j + r k

Daí, tirando o módulo temos:

N → = - r 2 + r 2 = 2 r

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S f x , y , z d S = ∫ ∫ D f ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

Com as informações que descobrimos nas etapas anteriores, temos que:

∫ ∫ S y z d σ = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π r 2 s e n 2 θ + 3 r s e n θ 2 r d v d u

Excelente! Nossa missão agora se resume a resolver essa integral dupla.

Passo 4

Vamos resolver a integral:

∫ 0 1 ∫ 0 2 π r 2 s e n 2 θ + 3 r s e n θ 2 r d θ d r

Colocando as constantes pra fora:

= 2 ∫ 0 1 ∫ 0 2 π r 3 s e n 2 θ + 3 r 2 s e n θ d θ d r

Usando que:

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Temos:

2 ∫ 0 1 ∫ 0 2 π r 3 1 - cos ⁡ 2 θ 2 + 3 r 2 s e n θ d θ d r

Resolvendo a integral interna, ficamos com:

2 ∫ 0 1 r 3 2 θ - s e n 2 θ 2 - 3 r 2 c o s θ 0 2 π d r

= 2 ⋅ ∫ 0 1 π r 3 d r

= 2 π ⋅ ∫ 0 1 r 3 d r

Logo:

= 2 π ⋅ r 4 4 0 1

= 2 π 4

Portanto, finalmente concluímos que:

��� ∫ S y z d σ = 2 π 4

Excelente galera! Até a próxima 😊

Resposta

2 π 4

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