4) Calcule a área das superfícies:

h) S parte do cone z = x 2 + y 2 , que se encontra dentro do cilindro x 2 + y 2 = 2 y , fora do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Para fazer o cálculo dessa área, vamos precisar usar a integral de superfície descrita por

∬ S N → d S

Vamos ter que fazer bastante coisa pra chegar nessa integral certinha: primeiro vamos achar uma parametrização para a superfície, achar os seus limites e por fim o módulo do vetor normal, quando fizermos isso, vamos voltar pra integral e resolver!

Começando pela parametrização da superfície, o esboço dela é esse aqui:

O exercício pede a superfície do cone, né? Então vamos usar os cilindros somente para limitar as variáveis, a parametrização mesmo vai ser a do cone. Uma possível é a seguinte:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = x 2 + y 2 = r 2

z = r

Passo 2

Projetando as superfícies dos cilindros no plano x y fica assim

O enunciado diz primeiro que a região é a interior ao cilindro x 2 + y 2 = 2 y , substituindo os parâmetros:

x 2 + y 2 ≤ 2 y

Obs: Se você ficar na dúvida se o símbolo deve ser ou uma dica é escolher um ponto que você sabe que está dentro da sua região! Para esse ponto a inequação deve ser verdadeira, por exemplo, ( 0 ,   1,5 ) está dentro da região, substituindo ali em cima:

0 + 1,5 ≤ 2 . 1,5

1,5 ≤ 3

Que é verdadeiro! Se tivéssemos colocado um sinal de maior ( ) daria errado. Voltando para a questão:

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ ≤ 2 r sen ⁡ θ

r 2 ≤ 2 r sen ⁡ θ

r ≤ 2 sen ⁡ θ

O segundo limite é exterior ao cilindro x 2 + y 2 = 1 , com isso

x 2 + y 2 ≥ 1

r 2 ≥ 1

r ≥ 1

Não pegamos o valor negativo pois r é sempre positivo. Os seus limites, portanto, são:

1 ≤ r ≤ 2 sen ⁡ θ

Os limites de θ podemos descobrir por essa relação de r encontrada acima. Perceba que, se 2 sen ⁡ θ é maior que r e r é maior que 1 , podemos concluir que 2 sen ⁡ θ ≥ 1

sen ⁡ θ ≥ 1 2

π 6 ≥ θ ≥ 5 π 6

Passo 3

Vamos achar agora o valor do nosso vetor normal

N → = ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ

φ r , θ = ( r cos ⁡ θ ,   r sen ⁡ θ ,   r )

Calculando cada derivada separadamente

∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ ,   1

∂ φ ∂ θ = - r sen ⁡ θ ,   r cos ⁡ θ ,   0

N → = i j k cos ⁡ θ sen ⁡ θ 1 - r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ 0

= - r cos ⁡ θ , - r sen ⁡ θ , r cos 2 ⁡ θ + r sen 2 ⁡ θ =

N → = - r cos ⁡ θ , - r sen ⁡ θ ,   r

Passo 4

O módulo da normal vai ficar

N → = - r cos ⁡ θ 2 + - r sen ⁡ θ 2 + r 2

= r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ + r 2

= r 2 + r 2

N → = r 2

Passo 5

Juntando tudo na integral de área

∬ S N → d S = ∫ π 6 5 π 6 ∫ 1 2 sen ⁡ θ 2 r d r d θ

= 2 ∫ π 6 5 π 6 r 2 2 r = 1 r = 2 sen ⁡ θ d θ = 2 2 ∫ π 6 5 π 6 4 sen 2 ⁡ θ - 1 d θ

Aqui vamos lembrar da seguinte relação:

sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Voltando pra integral

= 2 2 ∫ π 6 5 π 6 4 1 - cos ⁡ 2 θ 2 - 1 d θ = 2 2 ∫ π 6 5 π 6 2 - 2 cos ⁡ 2 θ - 1 d θ

= 2 2 ∫ π 6 5 π 6 1 - 2 cos ⁡ 2 θ d θ

= 2 2 θ - sen ⁡ 2 θ π 6 5 π 6 = 2 2 5 π 6 - π 6 - sen ⁡ 5 π 3 - sen ⁡ π 3 =

Aqui vamos lembrar que o seno dos ângulos replementares (que têm soma igual a 360 º = 2 π ) são opostos, ou seja

sen ⁡ 5 π 3 = - sen ⁡ π 3 = - 3 2

= 2 2 4 π 6 - - 3 2 - 3 2

= 2 2 2 π 3 + 3

Resposta

2 2 2 π 3 + 3

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