Calcule as seguintes integrais de superfícies:

e ) ∫ ∫ S z x 2 + y 2 d σ , onde S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0 ;

Passo 1

Faaaala galera, tudo bom por aí?

Nessa questão temos que calcular a nossa famosa integral de superfície no caso escalar (não temos um campo vetorial).

Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?

Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S f x , y , z d S

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função f ( x , y , z ) como função da parametrização

f ϕ u , v

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

N → = ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S f x , y , z d S = ∫ ∫ D f ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso escalar.

Então, bora usar essa ideia na integral pedida no enunciado e matar mais um item 😊

Passo 2

No caso desse item, recebemos a integral:

∫ ∫ S z x 2 + y 2 d σ

onde S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0 .

Assim, temos que a função f ( x , y , z ) no integrando vale:

f x , y , z = z ( x 2 + y 2 )

Massa! Vamos seguir nossa receita de bolo pra chegar em um resultado 😊

1 )   Parametrizar a superfície S :

Como a nossa superfície S trata-se de um hemisfério de raio 4 = 2 , podemos usar a parametrização clássica das superfícies esféricas:

x = 2 ⋅ cos ⁡ θ ⋅ s e n   ( ϕ ) y = 2 ⋅ s e n   θ ⋅ s e n   ( ϕ ) z = 2 ⋅ cos ⁡ ( ϕ )

Onde θ ∈ [ 0,2 π ] e ϕ ∈ 0 , π 2 ( pois temos z ≥ 0 ) .

Ou seja, temos a função:

ϕ θ , ϕ = 2 cos ⁡ θ ⋅ s e n   ϕ , 2 s e n   θ ⋅ s e n   ϕ , 2 cos ⁡ ϕ  

Perfeito! Vamos para a próxima etapa.

2 )   Escrever a função f ( x , y , z ) como função da parametrização

Vimos que:

f x , y , z = z ( x 2 + y 2 )

Então, substituindo a parametrização:

2 cos ⁡ ϕ ⋅ 4 cos 2 ⁡ θ s e n 2 ϕ + 4 s e n 2 θ ⋅ s e n 2 ϕ

= 2 cos ⁡ ϕ ⋅ 4 s e n 2 ϕ

= 8 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ

Logo:

f ϕ θ , ϕ = 8 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ

Muito bom! Vamos para a próxima etapa.

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície:

Vamos lá, encontramos que:

ϕ θ , ϕ = 2 cos ⁡ θ ⋅ s e n   ϕ , 2 s e n   θ ⋅ s e n   ϕ , 2 cos ⁡ ϕ  

Assim:

∂ ϕ ∂ θ = ( - 2 s e n θ ⋅ s e n   ϕ , 2 cos ⁡ θ ⋅ s e n   ( ϕ ) ,   0 )

Já se tomarmos a derivada parcial com relação a y , teremos:

∂ ϕ ∂ ϕ = 2 cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ , 2 s e n   θ ⋅ cos ⁡ ϕ , 2 s e n   ϕ

Muito bom! Vamos então calcular o produto vetorial:

∂ ϕ ∂ θ × ∂ ϕ ∂ ϕ = i j k - 2 s e n θ ⋅ s e n   ϕ cos ⁡ θ ⋅ s e n   ( ϕ ) 0 cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ s e n   θ ⋅ cos ⁡ ϕ - s e n   ϕ

= - 4 c o s θ ⋅ s e n 2 ϕ i + - 4 s e n θ ⋅ s e n 2 ϕ j + - 4 s e n 2 θ ⋅ s e n ϕ cos ⁡ ϕ - 4 cos 2 ⁡ θ ⋅ s e n ϕ cos ⁡ ϕ k

Esse é justamente o vetor normal! Precisamos apenas calcular o seu módulo!

N → = ( 16 s e n 4 ϕ ⋅ cos 2 ⁡ θ + 16 e n 2 θ ⋅ s e n 4 ϕ + 16 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ ϕ

= 4 ⋅ s e n ( ϕ )

Perfeito!

Vamos por fim, montar a integral!

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S f x , y , z d S = ∫ ∫ D f ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

Substituindo os dadas que encontramos, vamos ter que:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π 8 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ ⋅ 4 ⋅ s e n ϕ d θ d ϕ

Muito bom pessoal! A nossa missão agora se resume a calcular essa integral!

Passo 3

Queremos calcular a integral:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π 8 s e n 2 ϕ cos ⁡ ϕ ⋅ 4 ⋅ s e n ϕ d θ d ϕ

Então bora lá!

Colocando as constantes para fora da integral, temos:

32 ⋅ ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ c o s ϕ d ϕ ∫ 0 2 π d θ

= 64 π ⋅ ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ c o s ϕ d ϕ

Chamando:

u = s e n   ϕ

∴ c o s ϕ d ϕ = d u

Além disso, ajeitando os limites de integração, temos:

u 0 = s e n   0 = 0

u f = s e n   π 2 = 1

Logo:

64 π ⋅ ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ c o s ϕ d ϕ = 64 π ⋅ ∫ 0 1 u 3 d u

= 64 π ⋅ u 4 4 0 1

= 16 π

Portanto, a integral de superfície dada no enunciado vale:

∫ ∫ S z x 2 + y 2 d σ = 16 π

É isso gente!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

16 π

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