Sobre a seria complexa ∑ n = 0 ∞ z n é correto afirmar:

  1. A serie converge se z < 1 .
  2. A serie converge se z = 1 .
  3. A serie não converge absolutamente para nenhum ponto.
  4. A soma da série é 1 1 - z
  5. A serie diverge se z   > 1

Passo 1

A série complexa ∑ n = 0 ∞ z n é uma série geométrica. Vamos analisar cada afirmação:

1. A série converge se |z|

Isso é verdade. A série geométrica ∑ n = 0 ∞ z n

converge para valores de z dentro do intervalo aberto -1

2. A série converge se |z| = 1:

Isso não é verdade. A série diverge quando |z| = 1, exceto quando z = 1, onde a série se torna uma série de termos constantes e converge para o valor 1.

Passo 2

3. A série não converge absolutamente para nenhum ponto:

Isso não é verdade. A série converge absolutamente para todos os pontos no disco aberto |z|

4. A soma da série é 1/(1-z):

Isso é verdade. A soma da série geométrica ∑ n = 0 ∞ z n é igual a 1 / 1 - z para |z|

Passo 3

5. A série diverge se |z| > 1:

Isso é verdade. A série geométrica diverge quando |z| ≥ 1.

Resposta

Portanto, as afirmações corretas são 1, 4 e 5.

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