Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 261-4e.

Calcule a área da parte superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 contida no interior do cilindro x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2 .

Passo 1

Antes de mais nada, temos que parametrizar nossa superfície. Como se trata de uma esfera, nada melhor que coordenadas esféricas, de forma que, como já sabemos, a parametrização fica:

σ ϕ , θ = r cos θ s e n ϕ , r   s e n θ s e n ϕ , r cos ϕ

Como temos que o raio é 1 , a parametrização de fato fica:

σ ϕ , θ = cos θ s e n ϕ ,   s e n θ s e n ϕ , cos ϕ

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Passo 2

Agora temos que limitar a nossa região de integração. Sabemos que a esfera está no interior do cilindro:

x 2 + y 2 2 = x 2 - y 2

Apesar de que não sabemos como desenhar essa forma bizarra, o fato é que já temos uma parametrização para x e y , portanto podemos substituí-la para ver se ajuda na nossa análise. Nós chegamos anteriormente que:

x ϕ , θ = cos θ s e n ϕ

y ϕ , θ = s e n θ s e n ϕ

Repare: Ao substituirmos a nossa parametrização da esfera na equação do cilindro, estamos averiguando os valores de θ e de ϕ para os quais a esfera e o cilindro são iguais, ou seja, onde os gráficos se encontram, e não onde na esfera estamos dentro do cilindro (que é o que o enunciado pede).

Substituindo:

cos θ s e n ϕ 2 + s e n θ s e n ϕ 2 2 = cos θ s e n ϕ 2 - s e n θ s e n ϕ 2

Arrumando:

s e n 2 ( ϕ ) 2 = s e n 2 ϕ cos 2 θ - s e n 2 θ

Utilizando a relação de soma de arcos:

s e n 4 ϕ = s e n 2 ϕ cos 2 θ

Não podemos dividir ambos os lados por s e n 2 ϕ pois esse valor pode ser igual à zero, dependendo de ϕ . Vamos então tentar resolver:

s e n 4 ϕ - s e n 2 ϕ cos 2 θ = 0

s e n 2 ϕ s e n 2 ϕ - cos 2 θ = 0

Pronto. Os nossos limites de integração tem que sair da análise que vamos fazer da equação acima.

Passo 3

s e n 2 ϕ s e n 2 ϕ - cos 2 θ = 0

Como a esfera encontra com o cilindro quando essa equação acima é satisfeita, ela encontra quando s e n ϕ = 0 ou quando s e n ϕ = ± cos 2 θ .

Como sabemos que o ângulo ϕ , por definição, pertence ao intervalo [ 0 , π ] , sabemos que o seu seno não pode assumir valores negativos como - cos 2 θ . Logo, é razoável assumir que os pontos da esfera que estão dentro do cilindro respeitam esta relação:

0 s e n ϕ cos 2 θ

0 ϕ a r c s e n cos 2 θ

E o θ ? Como fica? Normalmente deixamos ele assumir qualquer valor, mas vamos ver se isto é valido neste caso. Olhando a equação abaixo percebemos uma coisa peculiar:

s e n 2 ϕ s e n 2 ϕ - cos 2 θ = 0

As duas variáveis são independentes. O que significa que o s e n ϕ pode assumir valores diferentes de zero, independentemente do θ . Portanto, se tivermos:

s e n ϕ 0

Podemos dividir ambos os lados da equação por s e n 2 ( ϕ ) que não tem problema. Neste caso, observamos:

s e n 2 ϕ = cos 2 θ

Ou seja, aqui fica mais claro uma coisa com relação à θ . O lado esquerdo da equação acima é um quadrado perfeito, portanto sempre positivo. Ao passo que o lado direito poderia assumir valores negativos. Não podemos deixar isto acontecer, para que a equação tenha sentido. Portanto:

cos 2 θ 0

Como estipulamos que θ está no intervalo 0,2 π , portanto 2 θ está em 0,4 π , logo os valores que satisfazem esta equação neste intervalo são:

0 2 θ π 2

3 π 2 2 θ 2 π

2 π 2 θ 5 π 2

7 π 2 2 θ 4 π

Dividindo por dois as inequações, temos que o intervalo ao qual θ pertence é:

θ 0 , π 4 3 π 4 , π π , 5 π 4 7 π 4 , 2 π

Portanto, o nosso domínio de integração vai ser:

D = ϕ , θ R 2 θ 0 , π 4 3 π 4 , π π , 5 π 4 7 π 4 , 2 π , ϕ 0 , a r c s e n cos 2 θ }

Passo 4

Aplicando a fórmula da integral de superfície:

A = D   σ ( ϕ , θ ) ϕ × σ ( ϕ , θ ) θ d ϕ d θ

Já sabemos quanto dá esse vetor normal da esfera, mas por prática nós vamos calcular tudo, começando pelas derivadas parciais:

σ ( ϕ , θ ) ϕ = cos θ cos ϕ , s e n θ cos ϕ , - s e n ϕ

σ ( ϕ , θ ) θ = - s e n θ s e n ϕ , cos θ s e n ϕ , 0

Calculando o produto vetorial:

σ ( ϕ , θ ) ϕ × σ ( ϕ , θ ) θ = i j k cos θ cos ϕ s e n θ cos ϕ - s e n ϕ - s e n θ s e n ϕ cos θ s e n ϕ 0

Fica uma dica aqui: você pode fatorar do determinante do produto vetorial um termo de uma linha ou coluna dele. No caso nunca vamos fatorar as colunas porque o primeiro elemento é sempre um vetor ( i ,   j ,   k ), mas de resto esse truque é bastante útil. Na última linha podemos fatorar o s e n ( ϕ ) :

σ ( ϕ , θ ) ϕ × σ ( ϕ , θ ) θ = s e n ϕ i j k cos θ cos ϕ s e n θ cos ϕ - s e n ϕ - s e n θ cos θ 0

Pra quem acha que vai ajudar também pode fatorar da segunda linha o cos ϕ , lembrando que vai sobrar - t g ϕ na última coluna. Eu não acho tão útil assim porque pode confundir mais depois, mas fica à critério de cada um. Seguindo:

σ ( ϕ , θ ) ϕ × σ ( ϕ , θ ) θ = s e n ϕ s e n ϕ cos θ ,     s e n ϕ s e n θ ,     cos ϕ

Fazendo a distributiva do s e n ϕ que nós pusemos em evidência lá em cima:

σ ( ϕ , θ ) ϕ × σ ( ϕ , θ ) θ = s e n 2 ϕ cos θ , s e n 2 ϕ s e n θ , s e n ϕ cos ϕ

Passo 5

Buscando o módulo dessa monstruosidade:

σ ( ϕ , θ ) ϕ × σ ( ϕ , θ ) θ = s e n 2 ϕ cos θ 2 + s e n 2 ϕ s e n θ 2 + s e n ϕ cos ϕ 2  

It’s Algebra Time, baby! Pondo s e n 4 ( ϕ ) em evidência:

σ ( ϕ , θ ) ϕ × σ ( ϕ , θ ) θ = s e n 4 ϕ cos 2 θ + s e n 2 θ + s e n 2 ϕ cos 2 ϕ

σ ( ϕ , θ ) ϕ × σ ( ϕ , θ ) θ = s e n 4 ϕ + s e n 2 ϕ cos 2 ϕ

Pondo s e n 2 ( ϕ ) em evidência:

σ ( ϕ , θ ) ϕ × σ ( ϕ , θ ) θ = s e n 2 ϕ s e n 2 ϕ + cos 2 ϕ

σ ( ϕ , θ ) ϕ × σ ( ϕ , θ ) θ = s e n 2 ϕ

Como o ângulo ϕ , por definição, pertence ao intervalo [ 0 , π ] ele nunca é negativo, portanto:

σ ( ϕ , θ ) ϕ × σ ( ϕ , θ ) θ = s e n ϕ

Passo 6

Finalmente, podemos plugar os valores dos limites de integração na fórmula. Lembrando que os valores de θ se encontram numa união de intervalos, então teríamos que fazer quatro integrais (que vão dar a mesma coisa no final...). Aproveitando a simetria do problema, podemos simplesmente usar apenas um intervalo e multiplicar a integral por quatro. Plugando:

A = 4 0 π 4 0 a r c s e n cos 2 θ s e n ϕ d ϕ d θ

Integrando o seno obtemos:

s e n x d x = - cos x + C

Aplicando com os valores de integração:

0 a r c s e n cos 2 θ s e n ϕ d ϕ = - cos ϕ 0 a r c s e n cos 2 θ

0 a r c s e n cos 2 θ s e n ϕ d ϕ = - cos a r c s e n cos 2 θ - 1

Essa bagunça de cosseno do arco seno pode ser resolvida da seguinte maneira. Forçando a existência de um triângulo de hipotenusa 1 e cateto oposto igual à cos 2 θ :

O ângulo α é o arco cujo seno é cos 2 θ , logo ele é a r c s e n cos 2 θ . O que queremos é o seu cosseno:

x 2 + cos 2 θ = 1

x = 1 - cos 2 θ

0 a r c s e n cos 2 θ s e n ϕ d ϕ = 1 - 1 - cos 2 θ

Plugando na outra integral:

A = 4 0 π 4 1 - 1 - cos 2 θ d θ

Arrumando essa raiz de cosseno de 2 θ : cos 2 θ = cos 2 ( θ ) - s e n 2 θ

Plugando na expressão problemática:

1 - cos 2 θ = 1 - cos 2 θ + s e n 2 θ

1 - cos 2 θ = s e n 2 θ + s e n 2 θ

1 - cos 2 θ = 2 s e n 2 θ

Cuidado quando for tirar o seno ao quadrado da raiz, pois ele poderia admitir valores negativos, portanto tem que ser o módulo:

A = 4 0 π 4 1 - 2 s e n θ d θ

Felizmente no intervalo que estamos integrando i . e .     0 , π 4 o seno é sempre positivo. Logo:

A = π - 4 2 0 π 4 s e n θ d θ

Prosseguindo:

A = π - 4 2 - cos θ 0 π 4

A = π + 4 2 cos π 4 - cos 0

A = π + 4 2 2 2 - 1

A = π + 4 - 4 2

Depois dessa Odisseia, encerramos a questão. É isso aí meu amigo. Valar Calculis: Todos os Cálculos tem que morrer!

Resposta

A = π + 4 - 4 2

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