Observe a figura abaixo que representa o toro obtido girando em torno do eixo z uma circunferência com centro no ponto C e com raio a . A distância do ponto C à origem é b > a .

  1. Mostre que r u , v = b + a cos ⁡ v cos ⁡ u , b + a cos ⁡ v sen ⁡ u , a sen ⁡ v , é a representação paramétrica do toro, onde u , v ∈ 0,2 π
  2. Calcule o vetor normal ao toro no ponto b , 0 , a
  3. Calcule a área do toro

Passo 1

a )

Repara que o toro nada mais é que uma superfície de revolução, ele pegou uma circunferência que está no plano x z com centro em C com raio a e racionou em torno do eixo z . Lembra como fazemos uma superfície de revolução?

Primeiro vamos parametrizar a circunferência, ela tem centro em b , 0,0 e raio a então vamos ter, para a circunferência

x v = b + a cos ⁡ v

z v = a sen ⁡ v

Com v ∈ 0,2 π

Vamos “rotacionar” isso agora, vamos ter

r u , v = x v cos ⁡ u , x v sen ⁡ u , z u

Então a parametrização do toro vai ficar

r u , v = b + a cos ⁡ v cos ⁡ u , b + a cos ⁡ v sen ⁡ u , a sen ⁡ v

Com

v ∈ 0,2 π

u ∈ 0,2 π

Essa é a parametrização exatamente igual à que ele pediu.

Passo 2

b )

Vamos agora obter o vetor normal, temos que fazer

∂ r u , v ∂ u × ∂ r u , v ∂ v

Calculando as derivadas parciais:

∂ r u , v ∂ u = - b + a cos ⁡ v sen ⁡ u , b + a cos ⁡ v cos ⁡ u , 0

∂ r u , v ∂ v = - a sen ⁡ v cos ⁡ u , - a sen ⁡ v sen ⁡ u , a cos ⁡ v

Achando o produto vetorial:

∂ r u , v ∂ u × ∂ r u , v ∂ v = i j k - b + a cos ⁡ v sen ⁡ u b + a cos ⁡ v cos ⁡ u 0 - a sen ⁡ v cos ⁡ u - a sen ⁡ v sen ⁡ u a cos ⁡ v

Que resulta em:

b + a cos ⁡ v cos ⁡ u ∙ a cos ⁡ v i + 0 j + - b + a cos ⁡ v sen ⁡ u ∙ - a sen ⁡ v sen ⁡ u k - b + a cos ⁡ v cos ⁡ u ∙ - a sen ⁡ v cos ⁡ u k - - b + a cos ⁡ v sen ⁡ u ∙ a cos ⁡ v j - 0 i

⇒ a b + a cos ⁡ v cos ⁡ u cos ⁡ v i + a b + a cos ⁡ v sen ⁡ u cos ⁡ v j + a sen ⁡ v b + a cos ⁡ v sen 2 ⁡ u + a sen ⁡ v b + a cos ⁡ v cos 2 ⁡ u k

⇒ a b + a cos ⁡ v cos ⁡ u cos ⁡ v i + a b + a cos ⁡ v sen ⁡ u cos ⁡ v j + a sen ⁡ v b + a cos ⁡ v k

n → u , v = a b + a cos ⁡ v cos ⁡ u cos ⁡ v , a b + a cos ⁡ v sen ⁡ u cos ⁡ v , a sen ⁡ v b + a cos ⁡ v

Passo 3

Ele quer o vetor em b , 0 , a , precisamos achar os valores de u e v que fazem chegarmos nesses pontos

b + a cos ⁡ v cos ⁡ u , b + a cos ⁡ v sen ⁡ u , a sen ⁡ v = b , 0 , a

Primeiro temos que

a sen ⁡ v = a

sen ⁡ v = 1

Como v ∈ 0,2 π vamos ter

v = π 2

Já achamos v vamos usar as outras componentes para achar u

b + a cos ⁡ v sen ⁡ u = 0

Trocando o valor de v

b + a cos ⁡ π 2 sen ⁡ u = 0

b + a ∙ 0 sen ⁡ u = 0

b sen ⁡ u = 0

Isso nos diz que

sen ⁡ u = 0

Assim

u = 0         o u         u = π

Vamos a última coordenada

b + a cos ⁡ v cos ⁡ u = b

Trocando o valor de v

b + a cos ⁡ π 2 cos ⁡ u = b

b + a ∙ 0 cos ⁡ u = b

b cos ⁡ u = b

Isso nos diz que

cos ⁡ u = 1

Assim

u = 0

Logo vamos ter

b , 0 , a → u , v = 0 , π 2

Passo 4

O vetor normal, no ponto b , 0 , a vai ficar

n → 0 , π 2 = a b + a cos ⁡ π 2 cos ⁡ 0 cos ⁡ π 2 , a b + a cos ⁡ π 2 sen ⁡ 0 cos ⁡ π 2 , a sen ⁡ π 2 b + a cos ⁡ π 2  

n → 0 , π 2 = a b + a cos ⁡ π 2 0 , a b + a cos ⁡ π 2 0 , a ∙ 1 b + a ∙ 0

n → 0 , π 2 = 0,0 , a b

n → 0 , π 2 = 0,0 , a b

Passo 5

c )

A fórmula da área vai ser

A = ∬ D   ∂ r u , v ∂ u × ∂ r u , v ∂ v d t d z

Temos que achar a norma desse vetor normal que achamos ali em cima.

∂ r u , v ∂ u × ∂ r u , v ∂ v = a b + a cos ⁡ v cos ⁡ u cos ⁡ v 2 + a b + a cos ⁡ v sen ⁡ u cos ⁡ v 2 + a sen ⁡ v b + a cos ⁡ v 2

⇒ a 2 b + a cos ⁡ v 2 cos 2 ⁡ u cos 2 ⁡ v + a 2 b + a cos ⁡ v 2 sen 2 ⁡ u cos 2 ⁡ v + a 2 sen 2 ⁡ v b + a cos ⁡ v 2

⇒ a 2 b + a cos ⁡ v 2 cos 2 ⁡ v cos 2 ⁡ u + sen 2 ⁡ u + a 2 sen 2 ⁡ v b + a cos ⁡ v 2

⇒ a 2 b + a cos ⁡ v 2 cos 2 ⁡ v + a 2 sen 2 ⁡ v b + a cos ⁡ v 2

⇒ a 2 b + a cos ⁡ v 2 cos 2 ⁡ v + sen 2 ⁡ v

⇒ a 2 b + a cos ⁡ v 2

⇒ a 2 b + a cos ⁡ v 2

Aqui temos um problema, quando passamos a raiz temos que colocar o módulo, mas se liga numa parada

cos ⁡ v > - 1

Certo? Então

a cos ⁡ v > - a

b + a cos ⁡ v > b - a

Mas ele disse no início que b > a , isso nos diz que

b + a cos ⁡ v > 0

Então não precisamos do módulo, porque esse cara é sempre positivo.

∂ r u , v ∂ u × ∂ r u , v ∂ v = a b + a cos ⁡ v

Passo 6

Finalmente, aplicando a fórmula com os limites de integração:

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 π a b + a cos ⁡ v d u d v

⇒ ∫ 0 2 π a b + a cos ⁡ v u u = 0 u = 2 π d v

⇒ ∫ 0 2 π a b + a cos ⁡ v 2 π - 0 d v

⇒ 2 π a ∫ 0 2 π b + a cos ⁡ v d v

⇒ 2 π a b v + a sen ⁡ v v = 0 v = 2 π

⇒ 2 π a b ∙ 2 π + a sen ⁡ 2 π - b ∙ 0 + a sen ⁡ 0

⇒ 2 π a 2 π b + a ∙ 0 - 0 + a ∙ 0

⇒ 2 π a 2 π b + 0 - 0

⇒ 4 π 2 a b

Resposta

  1. n → 0 , π 2 = 0,0 , a b
  2. 4 π 2 a b

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