(Cap 16.7 - Exercício 17) Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S x 2 z + y 2 z d S

S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 , z ≥ 0

Passo 1

Fala aí galera, tudo bom?

Gente, a questão deseja saber qual é o valor da integral de superfície, o primeiro passo que devemos fazer é a parametrização das equações para aí sim poder aplicar na fórmula de integral de superfície:

∬ S f x , y , z d S = ∬ D f r u , v r u × r v d A

Vamos lembrar que podemos usar coordenadas esféricas aqui:

r ϕ , θ = 2 s e n ϕ c o s θ i + 2 s e n ϕ s e n θ j + 2 c o s ϕ k

É bom memorizar que:

r ϕ × r θ = 4 s e n ϕ

Assim, podemos escrever a integral:

∫ ∫ S x 2 z + y 2 z d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 4 s e n 2 ϕ 2 c o s ϕ 4 s e n ϕ d ϕ d θ

Passo 2

Show! Agora vamos resolver a integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 4 s e n 2 ϕ 2 c o s ϕ 4 s e n ϕ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π 32 d θ ∫ 0 π 2 s e n 3 ϕ c o s ϕ d ϕ = 32 θ 0 2 π s e n 4 ϕ 4 0 π 2 = 32 2 π 1 4 = 16 π

E aí? Ficou menos turvo o assunto? Espero que sim!

Bons Estudos!

Resposta

16 π

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