1. Calcule a integral de superfície:

d) ∫ ∫ S x 2 y + z 2 d S , S é a parte do cilindro x 2 + y 2 = 9 , entre os planos z = 0 e z = 2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Aqui temos um exemplo de integral de superfície no seu caso escalar. Nesses casos temos que seguir alguns passos pra obter a integral da superfície S .

Ta sabendo quais passos são esses?? 🤔

A primeira coisa é analisar a superfície S ! Nesse caso, temos um cilindro de raio 3 que é dado pela equação x 2 + y 2 = 9 e que a altura desse cilindro é limitada pelos planos z = 0 e z = 3 .

Com essa ideia em mente, temos que calcular o vetor normal a S , pra isso, parametrizamos a equação em função de duas variáveis, derivamos uma vez para cada variável e calculamos o produto vetorial dessas derivadas.

Depois disso, calculamos o modulo desse produto vetorial, aplicamos a parametrização na função de integração e definimos os limites de integração com base nos parâmetros que escolhemos no início.

Entendeu?

Bora ver como fazemos na prática! 😁

Passo 2

S é a superfície de um cilindro, lembrando de coordenadas polares, podemos dizer que x = 3 cos ⁡ θ , y = 3 s e n θ e z é igual a z mesmo.

Com isso, nossa parametrização é

P = 3 cos ⁡ θ ,   3 s e n θ , z

Derivando P com relação a θ

∂ P ∂ θ = ∂ 3 cos ⁡ θ ,   3 s e n θ , z ∂ θ

Temos que lembrar do teorema fundamental do cálculo que diz que a derivada do s e n é o c o s e a derivada do c o s é - s e n .

∂ 3 cos ⁡ θ ∂ θ = - 3 s e n θ

∂ 3 s e n θ ∂ θ = 3 cos ⁡ θ

Para ∂ θ , z é uma constante, então lembrando que a derivada de uma constante é 0

∂ z ∂ θ = 0

Com isso, temos que

∂ P ∂ θ = - 3 s e n θ ,   3 cos ⁡ θ , 0

Agora derivamos com relação a z

∂ P ∂ z = ∂ 3 cos ⁡ θ ,   3 s e n θ , z ∂ z

Para ∂ z , θ é constante, então podemos escrever ∂ P ∂ z diretamente como

∂ P ∂ z = 0,0 , 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Pra obter o vetor normal a S , vamos calcular o produto vetorial das derivadas que obtemos no passo anterior.

N = ∂ P ∂ θ x ∂ P ∂ z = i j k - 3 s e n θ   3 cos ⁡ θ 0 0 0 1

Calculando o determinante, vamos obter

N = 3 cos ⁡ θ i - 3 s e n θ j

Ou também podemos escrever como

N = 3 cos ⁡ θ , - 3 s e n θ

Calculando o modulo desse vetor, temos

N = 3 cos ⁡ θ 2 + - 3 s i n θ 2

N = 9 c o s 2 θ + 9 s e n 2 θ

Colocando o 9 em evidência

N = 9 c o s 2 θ + s e n 2 θ

Sabemos que c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1 , logo

N = 9 = 3

Bacana, não é? 🤩

Passo 4

Aplicando P às coordenadas da função de integração, temos

f x , y , z = x 2 y + z 2 → f P θ , z = 3 cos ⁡ θ 2 3 s e n θ + z 2

Simplificando a função f P θ , z

f P θ , z = 27 c o s 2 θ s e n θ + z 2

Com isso, nossa integral fica da seguinte maneira

∫ ∫ S 27 c o s 2 θ s e n θ + z 2 3 d S

No enunciado foi dito que z varia entre 0 e 3 , então estes serão nossos limites de integração para z .

Para θ vemos que S é um cilindro centrado na origem e estamos interessados em todos os pontos no intervalo de z , ou seja, em todo o redor da origem, logo os limites de integração para θ é de 0 a 2 π

Substituindo esses valores na integral, temos

∫ 0 3 ∫ 0 2 π 27 c o s 2 θ s e n θ + z 2 3 d θ d z

Integrando com relação a θ , podemos colocar as constantes para fora da integral e dividir a integral da soma pela soma das integrais

81 ∫ c o s 2 θ s e n θ d θ + 3 ∫ z 2 d θ

Na primeira integral aplicamos o método da substituição u d u fazendo cos ⁡ θ = u e s e n θ = d u

81 ∫ c o s 2 θ s e n θ d θ → 81 ∫ u 2 d u

Aplicando o método de integração polinomial

81 ∫ u 2 d u = 81 u 2 + 1 2 + 1 = 81 u 3 3

Voltando u para cos ⁡ θ , temos

81 ∫ c o s 2 θ s e n θ d θ = 81 c o s 3 θ 3

Agora integrando z 2 com relação a θ é como se integrássemos uma constante, então

3 ∫ z 2 d θ = 3 θ z 2

Interessante, não é? 😎

Passo 5

Juntando os resultados que obtemos para a integral de d θ , temos

∫ 81 c o s 2 θ s e n θ + 3 z 2 d θ = 81 c o s 3 θ 3 + 3 θ z 2

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 2 π 81 c o s 2 θ s e n θ + 3 z 2 d θ = 81 c o s 3 2 π 3 + 3 2 π z 2 - 81 c o s 3 0 3 + 3 0 z 2

∫ 0 2 π 81 c o s 2 θ s e n θ + 3 z 2 d θ = 6 π z 2

Agora com base nesse resultado, integramos com relação a z

∫ 6 π z 2 d z

Pelo método de integração polinomial, temos

∫ 6 π z 2 d z = 6 π z 2 + 1 2 + 1 = 2 π z 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 3 6 π z 2 d z = 2 π 3 3 - 2 π 0 3

∫ 0 3 6 π z 2 d z = 54 π

Com isso, vemos que a integral de superfície dada no enunciado é igual a 54 π !

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ ∫ S x 2 y + z 2 d S = 54 π

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