Assinale a única alternativa correta sobre a função f z = e z - 1 z 2

  1. R e s z = 0 f z = 0
  2. R e s z = 1 f z = 1 2
  3. R e s z = 1 f z = 1
  4. R e s z = 0 f z = 1
  5. R e s z = 0 f z = 1 / 2

Passo 1

A função

( f z = e z – 1 z 2 )

tem um ponto singular em ( z   =   0 ) , que é um ponto de ordem 2. Vamos calcular o valor do resíduo nesse ponto:

O resíduo de ( f z ) em ( z   =   0 ) é dado pelo coeficiente ( a - 1 ) na expansão de Laurent da função em uma série de potências de ( 1 z ) :

Passo 2

[ f z = e z - 1 z 2 = 1 z 2 ⋅ e z - 1 = 1 z 2 ⋅ z + z 2 2 ! + z 3 3 ! + … = 1 z + 1 2 ! + z 3 ! + … . ]

O coeficiente ( a - 1 ) é o termo ( 1 2 ! = 1 2 ) , portanto, o resíduo de ( f z ) em ( z   =   0 ) é ( 1 2 )

, não ( 0 ) como inicialmente mencionado.

Resposta

R e s z = 0 f z = 1 / 2

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