Seja S a esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 1 com densidade superficial δ x , y , z = x 2 . A massa de S é igual a:

a) 2 π 3

b) π 3

c) 4 π 3  

d) 16 π 3

e) 8 π 3

Passo 1

Cara, para calcular a massa de uma superfície assim, a gente vai precisa montar uma integral de superfície escalar. E aí é usar um mesmo passo a passo, que dá bom toda vez. Vem comigo!

Primeira coisa é parametrizar a superfície. Ele disse que a superfície é uma esfera de raio 1 centrada em 0,0 , 0 . (vemos isso pela equação)

Como a gente quer a esfera completa, é uma boa a gente parametrizar a superfície usando um pouco de coordenadas esféricas. Fica assim:

φ θ , β = ρ   s e n   β cos ⁡ θ , ρ   s e n   β sen ⁡ θ ,   ρ cos ⁡ β

Ihhh, mas espera, a gente só pode ter dois parâmetros na parametrização de superfícies. E ali na função temos 3 variáveis. O que falta? Falta colocar o raio da nossa esfera que vale ρ = 1 . Agora sim nossa parametrização certinha, só com duas variáveis.

φ θ , β =   s e n   β cos ⁡ θ ,   s e n   β sen ⁡ θ ,   cos ⁡ β

Considerando que a esfera está completa, nosso domínio fica os intervalos máximos desses dois parâmetros de coordenadas esféricas:

0 ≤ θ ≤ 2 π ,     0 ≤ β ≤ π

Passo 2

Depois a gente precisa calcular nosso vetor normal.

∂ φ ∂ θ = -   s e n β   s e n   θ   ,   s e n   β cos ⁡ θ ,   0

∂ φ ∂ β = cos ⁡ β cos ⁡ θ ,   cos ⁡ β s e n   θ ,   -   s e n   β

N → = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ β = i ^ j ^ k ^ -   s e n β   s e n   θ     s e n   β cos ⁡ θ 0 cos ⁡ β cos ⁡ θ cos ⁡ β s e n   θ -   s e n   β

N → = -   s e n 2 β cos ⁡ θ ,   -   s e n 2 β   s e n   θ ,   - s e n   β cos ⁡ β s e n 2 θ - s e n β cos ⁡ β cos 2 ⁡ θ

N → = -   s e n 2 β cos ⁡ θ ,   -   s e n 2 β   s e n   θ ,   - s e n   β cos ⁡ β

E como a integral é escalar, a gente precisa tirar o módulo desse cara:

N → =   s e n 4 β cos 2 ⁡ θ + s e n 4 β   s e n 2   θ + s e n 2   β cos 2 ⁡ β

N → =   s e n 4 β ( cos 2 ⁡ θ +   s e n 2   θ ) + s e n 2   β cos 2 ⁡ β

N → =   s e n 4 β + s e n 2   β cos 2 ⁡ β =   s e n 2 β ( s e n 2 β +   β cos 2 ⁡ β )  

N → =   s e n 2 β = s e n   β

Passo 3

Para que fizemos tudo isso? Cara, para montar nossa integral de superfície escalar e achar a massa:

M = ∫ ∫ S δ x , y , z d S = ∫ ∫ D δ ϕ θ , β N → d θ d β

Para a gente:

δ x , y , z = x 2

Na nossa parametrização:

φ θ , β =   s e n   β cos ⁡ θ ,   s e n   β sen ⁡ θ ,   cos ⁡ β

Então x = s e n   β cos ⁡ θ . Vamos substituir na nossa função:

δ ϕ θ , β = s e n 2   β cos 2 ⁡ θ

N → = s e n   β

E o domínio D é o domínio da parametrização:

0 ≤ θ ≤ 2 π ,     0 ≤ β ≤ π

Aí a integral fica:

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 π s e n 3 β   cos 2 ⁡ θ d β d θ

Passo 4

Calculando essa belezura:

M = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ ∫ 0 π s e n 3 β d β d θ

Vamos calcular essa integral de dentro:

∫ 0 π s e n 3 β d β = ∫ 0 π s e n 2 β   s e n   β d β

Lembrando que s e n 2 β = 1 - cos 2 ⁡ β :

∫ 0 π ( 1 - cos 2 ⁡ β )   s e n   β d β

Aí fazendo uma substituição simples u = cos ⁡ θ , achando a primitiva e substituindo os extremos de integração, achamos:

∫ 0 π ( 1 - cos 2 ⁡ β )   s e n   β d β = 4 3

E a integral de fora fica:

M = 4 3 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

Aí a gente lembra daquela identidade que diz:

cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ + 1 2

M = 4 3 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 θ + 1 2 d θ

Aí fazendo uma substituição simples t = 2 θ , achando a primitiva e substituindo os extremos de integração, achamos:

M = 4 π 3

Resposta

Letra c

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1