Seja S a parte da superfície de equação   z = x + y 2 acima do triangulo de vértices (0,0), (1,1), (0,1).

(2.1) Encontre uma parametrização para S e determine o elemento de superfície dS de S. Explicite o domínio da parametrização em termos das coordenadas.

(2.2)Calcule a integral de superfície.

∬ S x z   d S

Passo 1

Para encontrar a parametrização de S, vamos fazer uma parametrização explicita, onde ficamos com:

σ t = ( x ,   y ,   x + y 2 )

Analisando agora o domínio. Observe que o enunciado nos informa que S   está acima do triangulo de vértices (0,0), (1,1), (0,1), ou seja:

Então vamor ter de descobrir a equação de cada uma dessas retas. As retas azul (paralela ao eixo x) e vermelha (em cima do eixo y) são mais simples de encontrar a equação, ficando com y=1 e x=0 respectivamente.

Para a reta verde teremos:

x y 1 1 1 1 0 0 1 = 0

x = y

Agora podemos então escrever observando o gráfico:

0 ≤ x ≤ 1

x ≤ y ≤ 1

Passo 2

(2.2) Calcule a integral de superfície.

∬ S x z   d S

Escrevendo esse campo em função da parametrização ficamos com:

x z = x x + y 2

Então a integral fica:

∫ 0 1 ∫ x 1 x x + y 2 d y d x

∫ 0 1 ∫ x 1 x 2 + x y 2   d y d x

∫ 0 1 x 2 1 + x 1 3 3 - ( x 2 x + x x 3 3 ) d x

x 3 3 + x 4 12 - x 3 3 - x 5 15

1 12 - 1 15

= 19 60

Resposta

19 60

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