12) Seja S a porção do cilindro x 2 + y 2 = 1 , com z ≥ 0 , limitada pelo plano x + y + z = 1 e pelo plano z = 0 . Calcule a massa de S , sabendo que a densidade de massa em um ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo z .

Passo 1

Bem, uma massa de um pedaço de superfície S é nos dado agora por uma integral de superfície escalar e sua cara é...

M S = ∬ S   ρ x ,   y ,   z   d S

No caso, ρ x ,   y ,   z é a função de densidade que já já descobriremos quem é. ;)

Bem, como estamos trabalhando com uma integral de superfície, podemos muito bem utilizar o passo a passo maroto para detonar o problema imposto:

  1. 1º - Parametrizar a superfície S .
  2. 2º - Substituir os termos da parametrização na função ρ ( x ,   y ,   z ) .
  3. 3º - Encontrar o termo d S .

Passo 2

Antes de começarmos o passo a passo da resolução da integral de superfície, vamos descobrir quem é essa integral descobrindo quem é a função de densidade   ρ x ,   y ,   z , primeiro.

Para encontra-la, basta seguir as informações do enunciado:

  • Ela é igual a distância de um ponto x ,   y ,   z ao eixo z ao quadrado.

Tenha em mente que o eixo z é caracterizado por ter pontos 0 ,   0 ,   z .

Ora! A distância de um ponto qualquer x ,   y ,   z a esse eixo 0 ,   0 ,   z , é dado por:

d = x - 0 2 + y - 0 2 + z - z 2

d = x 2 + y 2

Então...

ρ x ,   y ,   z = d 2 = x 2 + y 2

Passo 3

Vamos resolver então o primeiro passo de resolução de integral de superfície parametrizando S . Por falar nisso, quem é a superfície?

Para termos uma noção do que fazermos, recomendo fortemente que desenhe a superfície. Ela é um pedaço de um cilindro de raio 1 , mas delimitada por um plano x + y + z = 1 e com z ≥ 0 ...

Passo 4

Bem, estamos trabalhando com um pedaço de cilindro, então nada mais justo que utilizar uma parametrização “prima” das coordenadas cilíndricas:

x = R cos ⁡ θ

y = R sin ⁡ θ

z = z

Agora tome muito cuidado! Uma superfície, mesmo no espaço, tem duas dimensões, certo? Então ela precisa sempre de dois parâmetros para descrevê-la. No nosso caso, é só o ângulo θ e o próprio z , esse R desaparece virando o raio do cilindro que estamos trabalhando...

R = 1

Logo a parametrização é...

x = cos ⁡ θ

y = sin ⁡ θ

z = z

Ou, com uma anotação um pouco mais elegante do ponto de vista da matemática...

r → θ ,   z = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ,   z

Passo 5

Ok, porém nunca deixamos uma parametrização sem antes encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.

Bem, como a parametrização é prima das coordenadas cilíndricas, o ângulo θ gira no plano x y ao redor do eixo z , como pode ver na projeção da superfície S ...

Precisamos de um θ dando uma volta saindo de 90 ° e indo até o 360 ° ...

π 2 ≤ θ ≤ 2 π

Enquanto isso, o z varia entre os dois planos:

0 ≤ z ≤ P l a n o   a z u l

Como o plano azul é x + y + z = 1 ...

0 ≤ z ≤ 1 - x - y

Trocando o y pelo parâmetro...

0 ≤ z ≤ 1 - cos ⁡ θ - sin ⁡ θ

Passo 6

Concluída esta etapa, encontremos a função ρ x ,   y ,   z que estamos integrando em termos dos parâmetros:

  ρ x ,   y ,   z = x 2 + y 2

Mudando para a parametrização...

r → θ ,   z = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ,   z

  ρ r → x ,   y = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

ρ r → x ,   y = 1

Passo 7

Beleza, então com essa primeira etapa já resolvida podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d z d θ

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → θ ,   z ∂ θ × ∂ r → θ ,   z ∂ z

Não precisa se preocupar com a ordem dessas derivadas parciais, pois o módulo no d S corrige qualquer sinal de menos ( ). Por falar nisso, calculando essas derivadas parciais...

r → θ ,   z = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ,   z           →  

  ∂ r → θ ,   z ∂ θ = - sin ⁡ θ , cos ⁡ θ ,   0

∂ r → θ ,   z ∂ z = 0,0 ,   1

Substituindo tudo dentro do produto vetorial (um determinante lembrando em que a primeira linha estão os vetores i → , j → e k → ...

N → = ∂ r → θ ,   z ��� θ × ∂ r → θ ,   z ∂ z

N → = i → j → k → - sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1                 →

N → = cos ⁡ θ i →   - - sin ⁡ θ   j → =

cos ⁡ θ i → +   sin ⁡ θ   j →

Então

N → = cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ,   0

Bem, ainda não concluímos o termo d S , pois ele nos exige o módulo de N → , então devemos extrair a raiz quadrada...

N → = cos ⁡ θ 2 + sin ⁡ θ 2 + 0 2

N → = cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

d S =   d z d θ

Passo 8

Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...

M S = ∬ S   ρ x ,   y ,   z   d S

E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que S , trocamos por D que é a região de variação de θ e z ).

∬ S   ρ x ,   y ,   z   d S = ∬ D   1 ⋅ 1   d z d θ =

∫ π 2 2 π ∫ 0 1 - cos ⁡ θ - sin ⁡ θ d z d θ

Integrando...

∫ π 2 2 π ∫ 0 1 - cos ⁡ θ - sin ⁡ θ d z d θ =

∫ π 2 2 π 1 - cos ⁡ θ - sin ⁡ θ d θ =

θ - sin ⁡ θ + cos ⁡ θ π 2 2 π =

2 π - sin ⁡ 2 π + cos ⁡ 2 π - π 2 - sin ��� π 2 + cos ⁡ π 2 =

3 π 2 + 1 - - 1 =

3 π 2 + 2

Resposta

3 π 2 + 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1