8) O cilindro x 2 + y 2 = x divide a esfera S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 em duas regiões S 1 e S 2 , onde S 1 está no interior do cilindro e S 2 fora. Ache a razão das áreas A S 2 A S 1 .

Passo 1

Bem, primeiro vamos entender aqui quem são essas superfícies S 1 e S 2 desenhando:

Sabemos que temos um cilindro deslocado em x , pois se completarmos quadrado...

x 2 + y 2 = x     →         x 2 - x + y 2 = 0     →

x - 1 2 2 - 1 4 + y 2 = 0     →

x - 1 2 2 + y 2 = 1 4

Um cilindro deslodado meia unidade em x e de raio 1 2 :

Além disso, temos a esfera de raio 1 :

Observe que o cilindro delimita dentro dele dois pedaços da esfera que o problema informou ser S 1 enquanto S 2 é todo o resto da esfera.

Passo 2

Observe que as superfícies têm uma simetria em relação ao plano x y , como se pudéssemos quebra-la ao meio e a parte de baixo seria o reflexo da de cima:

Como o problema nos pediu razão entre a área do interior ao cilindro pela área do pedaço exterior, o fato de ser simétrica implica diretamente que podemos fazer essa razão apenas com essa parte metade de cima, que será exatamente a mesma razão caso pegássemos todo o globo!

Esse pensamento já simplifica em... Nem sei quantificar, mas sei que simplifica muito.

Falando isso que acabamos de falar de uma forma mais matemática, se S 2 m for a parte de S 2 da metade do globo fora ao cilindro e S 1 m , a penas o pedaço de cima, mas dentro do cilindro, então:

A S 2 A S 1 = A S 2 m A S 1 m

Passo 3

Bem, a área que está fora do cilindro nessa metade que estamos trabalhando nada mais é do que a área de uma semiesfera de raio 1 ...

Á r e a   d a   s e m i e s f e r a =   4 π r 2 2 = 2 π

menos a área que está na parte de dentro...

A S 2 m = 2 π - A S 1 m

Sendo assim, a razão que queremos fica...

A S 2 m A S 1 m = 2 π - A S 1 m A S 1 m

Pow, então o que precisamos saber na realidade é qual é a área de S 1 m , ou melhor, a área da parte de cima da região delimitada pelo cilindro...

Vamos calcular?

Passo 4

Então, área de superfície para nós a parir deste momento será dado por uma integral de superfície escalar bem especial. Essa daqui, oh:

A S 1 m = ∬ S 1 m   1   d S

Como toda e boa integral de superfície escalar vamos seguir um passo a passo maroto que nos ajudará muito:

1º - Parametrizar a superfície S 1 m .

2º - Encontrar o termo d S .

Passo 5

Precisamos da superfície parametrizada. Como queremos um pedacinho da parte de cima da esfera de equação

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Isolando o z ...

x 2 + y 2 + z 2 = 1       →             z 2 = 1 - x 2 + y 2       →

z = 1 - x 2 + y 2

Podemos pensar em uma parametrização explícita, tal que os dois parâmetros sejam o próprio x e y ...

r → x ,   y = x ,   y ,   1 - x 2 + y 2

Passo 6

Como toda e qualquer parametrização, necessitamos de determinar onde é que os parâmetros x e y estão variando.

Bem, x e y varia na limitação do cilindro deslocado...

Como se olhássemos de cima para baixo:

Por hora, podemos simplesmente indicar que x e y estão dentro dessa região D aí, apenas para não perder o foco na integral de superfície ;)

x ,   y ∈ D

Passo 7

Beleza, então com essa primeira etapa já resolvida podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d x d y

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → x , y ∂ x × ∂ r → x , y ∂ y

Mas como parametrizamos como z em função explícita de x e y , ou melhor, como um gráfico de função, podemos usar o bizu de vetor normal nessas condições e ganhar tempo...

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1

como

z = 1 - x 2 + y 2

∂ z ∂ x = 1 2 1 - x 2 + y 2 ⋅ ∂ 1 - x 2 + y 2 ∂ x = - x 1 - x 2 + y 2

∂ z ∂ y = 1 2 1 - x 2 + y 2 ⋅ ∂ 1 - x 2 + y 2 ∂ y = - y 1 - x 2 + y 2

Então...

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 = x 1 - x 2 + y 2 ,   y 1 - x 2 + y 2 ,   1

Calculando o módulo...

N → = x 1 - x 2 + y 2 2 + y 1 - x 2 + y 2 2 + 1 2   →

N ��� = x 2 1 - x 2 + y 2 + y 2 1 - x 2 + y 2 + 1 - x 2 - y 2 1 - x 2 + y 2 →

N → = x 2 + y 2 + 1 - x 2 - y 2 1 - x 2 + y 2   →

N → = 1 1 - x 2 + y 2

d S = 1 1 - x 2 + y 2   d x   d y

Passo 8

Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...

∬ S 1 m   1   d S

E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que S , trocamos por D que é a região de variação de z e θ ).

A s 1 m = ∬ S 1 m   1   d S = ∬ D     1 1 - x 2 + y 2   d x   d y

Agora assim, estamos lidando com uma integral dupla envolvendo coisas ao quadrado, podemos pensar nas mudanças para coordenadas polares...

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

J = r

x 2 + y 2 = r 2

Passo 9

Para os limites de r e de θ , olhemos novamente para a região de variação D de x e y :

Note que θ que com essa substituição sai do eixo x girando no sentido anti-horário, tem que variar nesse caso de - 90 ° até 90 ° ...

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Enquanto isso o r varia de 0 até a circunferência do cilindro deslocado...

x 2 + y 2 = x       →               r 2 = r cos ⁡ θ       →

r = cos ⁡ θ

0 ≤ r ≤ cos ⁡ θ

Substituindo...

A s 1 m = ∬ D     1 1 - x 2 + y 2   d x   d y =

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 cos ⁡ θ 1 1 - r 2 ⋅ J   d r d θ =

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 cos ⁡ θ 1 1 - r 2 ⋅ r   d r d θ

Fazendo uma mudança...

1 - r 2 = t   →         d t = - 2 r   d r       →           r d r = - d t 2

E não se esquecendo de também de trocar os limites de integração...

r = cos ⁡ θ     →         t = 1 - cos ⁡ θ 2 = sin 2 ⁡ θ  

r = 0     →         t = 1 - 0 2 = 1

Substituindo-se na integral dupla...

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 cos ⁡ θ 1 1 - r 2 ⋅ r   d r d θ = ∫ - π 2 π 2 ∫ 1 sin 2 ⁡ θ 1 t ⋅ - d t 2 d θ =

- 1 2 ∫ - π 2 π 2 ∫ 1 sin 2 ⁡ θ 1 t d t d θ = - 1 2 ∫ - π 2 π 2 ∫ 1 sin 2 ⁡ θ 1 t d t d θ =

- 1 2 ∫ - π 2 π 2 2 t 1 sin 2 ⁡ θ d θ =

- ∫ - π 2 π 2 sin 2 ⁡ θ - 1   d θ =

∫ - π 2 π 2   d θ - ∫ - π 2 π 2 sin ⁡ θ   d θ =

π - ∫ - π 2 0 - sin ⁡ θ   d θ + ∫ 0 π 2 sin ⁡ θ   d θ =

π - cos ⁡ θ 1 - π 2 0 + - cos ⁡ θ 1 0 π 2 =

π - cos ⁡ 0 1 - cos ⁡ π 2 1 + - cos ⁡ π 2 1 - - cos ⁡ 0 1 =

π - 1 + 1 = π - 2

Passo 10

Voltando para a razão que queremos saber definida lá no passo 3 ...

2 π - A S 1 m A S 1 m =

2 π - π - 2 π - 2 =

π + 2 π - 2

Resposta

π + 2 π - 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1