4) Calcule a área das superfícies:

f) S : superfície gerada pela rotação do segmento de reta A B , A = 0 ,   1 ,   3 , B = 0 ,   3 ,   1 em torno do eixo z .

Passo 1

Então, área de superfície para nós a parir deste momento será dado por uma integral de superfície escalar bem especial. Essa daqui, oh:

A S = ∬ S   1   d S

Como toda e boa integral de superfície escalar vamos seguir um passo a passo maroto que nos ajudará muito:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo d S .

Passo 2

Precisamos da superfície parametrizada, as antes, quem é mais vantajoso nos perguntarmos quem é a superfície S ?

No nosso caso, o que devemos fazer é pegar esses dois pontos unidos por um segmento...

E girá-lo ao redor de z ...

Formando ao pedaço de cone!

Passo 3

Uma superfície como essa, foi gerada com uma revolução, logo a parametrização que devemos utilizar é a parametrização que chamamos de parametrização de superfícies de revolução. Bem sugestivo, neh? kkkkkk

Para essa superfície, como você já sabe, primeiro parametrizamos a curva que deu origem, no caso, a reta. Parametrização de reta, sempre tem essa cara:

x = a + m 1 t

y = b + m 2 t

z = c + m 3 t

Onde a ,   b ,   c é um ponto qualquer da reta, por exemplo, o ponto A . do enunciado..

a ,   b , c = 0 ,   1 ,   3

x = m 1 t

y = 1 + m 2 t

z = 3 + m 3 t

E o vetor m 1 ,   m 2 ,   m 3 é o vetor de direção dessa reta, dado pelo ponto inicial menos o final:

m 1 ,   m 2 ,   m 3 = B - A   →

m 1 ,   m 2 ,   m 3 = 0 ,   3 ,   1 - 0 ,   1 ,   3 =

0 ,   2 ,   - 2

Então a parametrização da reta é:

x = 0

y = 1 + 2 t

z = 3 - 2 t

Logo a parametrização da curva é no plano x = 0 ...

r → t ,     =       ,   1 + 2 t , 3 - 2 t  

Repare que ficaram uns vácuos ali! Isso porque a uma curva precisa de uma única variável e a superfície de duas, bora encontrar a segunda?

Passo 4

Bem, o segundo parâmetro é o ângulo θ que chamamos de fator de giro. Como no caso estamos girando ao redor de z , ou seja, no plano x y ...

Devemos colocar uma correção com um cosseno e um seno em x e y . O cosseno, se quisermos o ângulo saindo do eixo x no sentido anti-horário como no desenho acima, deve ser necessariamente o x e o y o seno:

x = cos ⁡ θ

y = sin ⁡ θ

Então a parametrização fica...

r → t ,     =       ,   1 + 2 t , 3 - 2 t               →                 r → t ,   θ = cos ⁡ θ ,   1 + 2 t sin ⁡ θ , 3 - 2 t             →

Como tem um termo na frente do seno, tem que ter na frente do cosseno também:

r → t ,   θ =   r → t ,   θ =   1 + 2 t cos ⁡ θ ,   1 + 2 t sin ⁡ θ , 3 - 2 t  

Eis a parametrização!

Passo 5

Ok, agora nos falta a segunda parte do problema que é encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.

Como pode ver na projeção da superfície no plano x y

Precisamos de um θ dando uma volta completa:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 6

Enquanto isso, o t é dado por...

y = 1 + 2 t

E movemos do ponto A ao B ...

A = 0 ,   1 ,   3   →     B = 0 ,   3 ,   1

y = 1     →         y = 3

Então, quando y é 1 ...

1 + 2 t = 1         →         2 t = 0     →       t = 0

E quando y = 3 ...

1 + 2 t = 3       →         2 t = 2         →           t = 1

Então o t varia de...

0 ≤ t ≤ 1

Passo 7

Beleza, então com essa primeira etapa já resolvida podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d t d θ

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → t ,   θ ∂ t × ∂ r → t ,   θ ∂ θ

Não precisa se preocupar com a ordem dessas derivadas parciais, pois o módulo no d S corrige qualquer sinal de menos ( ). Por falar nisso, calculando essas derivadas parciais...

r → t ,   θ =   1 + 2 t cos ⁡ θ ,   1 + 2 t sin ⁡ θ , 3 - 2 t               →

  ∂ r → t ,   θ ∂ t = 2 cos ⁡ θ   ,   2 sin ⁡ θ , - 2

∂ r → t ,   θ ∂ θ = -   1 + 2 t sin ⁡ θ ,   1 + 2 t cos ⁡ θ , 0  

Substituindo tudo dentro do produto vetorial (um determinante lembrando em que a primeira linha estão os vetores i → , j → e k → ...

N → = ∂ r → t ,   θ ∂ t × ∂ r → t ,   θ ∂ θ

N → = i → j → k → 2 cos ⁡ θ 2 sin ⁡ θ - 2 -   1 + 2 t sin ⁡ θ 1 + 2 t cos ⁡ θ 0                 →

N → = 2 sin ⁡ θ   1 + 2 t j → + 2 cos 2 ⁡ θ 1 + 2 t k → - - 2 cos ⁡ θ 1 + 2 t   i → - 2 sin 2 ⁡ θ   1 + 2 t k → =

N → = 2 cos ⁡ θ 1 + 2 t   i → + 2 sin ⁡ θ   1 + 2 t j → + 2 cos 2 ⁡ θ 1 + 2 t k → + 2 sin 2 ⁡ θ   1 + 2 t k → =

N → = 2 cos ⁡ θ 1 + 2 t   i → + 2 sin ⁡ θ   1 + 2 t j → + 2 1 + 2 t ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ )   k → =

N → = 2 cos ⁡ θ 1 + 2 t   i → + 2 sin ⁡ θ   1 + 2 t j → + 2 1 + 2 t k →

Então

N → = 2 cos ⁡ θ 1 + 2 t , 2 sin ⁡ θ   1 + 2 t ,   2 1 + 2 t

Bem, ainda não concluímos o termo d S , pois ele nos exige o módulo de N → , então devemos extrair a raiz quadrada...

N → = 2 cos ⁡ θ 1 + 2 t 2 + 2 sin ⁡ θ   1 + 2 t 2 + 2 1 + 2 t 2

N → = 4 cos 2 ⁡ θ 1 + 2 t 2 + 4 sin 2 ⁡ θ   1 + 2 t 2 + 4 1 + 2 t 2

N → = 4 1 + 2 t 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + 1

N → = 4 1 + 2 t 2 1 + 1

N → = 4 1 + 2 t 2 ⋅ 2

d S = 2 2 1 + 2 t   d t   d θ

Passo 8

Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...

∬ S   1   d S

E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que S , trocamos por D que é a região de variação de z e θ ).

A s = ∬ S   1   d S = ∬ D     2 2 1 + 2 t   d t   d θ

  2 2 ∬ D   1 + 2 t   d t   d θ

Lembrando que D é...

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ t ≤ 1

Gerando a integral

2 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + 2 t   d t d θ =

2 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + 2 t   d t d θ =

2 2 ∫ 0 2 π t + 2 t 2 2 0 1 d θ =

4 2 ∫ 0 2 π d θ = 8 2 π

Resposta

8 2 π

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