Monte, mas não calcule, uma integral iterada igual à integral dada

∬ σ x 2 y d S

Onde σ é a porção do cilindro x 2 + y 2 = 9 2 no primeiro octante entre os planos x = 0 , x = 9 , z = y e z = 2 y

Passo 1

O primeiro passo é parametrizar a superfície σ !

Vamos dar uma olhada como é essa superfície e depois parametriza-la.

Primeiro, temos um cilindro circular. Esse círculo tem raio 9 , então vamos ter

Mas ele disse que é limitado pelo plano x = 0 e x = 9 , então vamos ter que x vai de 0 à 9 só.

Então só vamos pegar a parte do cilindro nessa faixa, que vai ficar

Ele também disse que vai ser limitado pelo planos z = y e z = 2 y , vamos desenhar esses planos aqui

Então a nossa superfície vai ser o cilindro vermelho limitado entre esses planos azuis.

Passo 2

Vamos para a parametrização desse cilindro

Podemos parametrizar a superfície com coordenadas cilíndricas. Segue que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   sen θ

Aplicando na equação do cilindro:

r cos ⁡ θ 2 + r   sen θ 2 = 9 2

r 2 = 9 2 → r = 9

Portanto, o parâmetro r sumiu. Até agora temos que a nossa parametrização ϕ é:

ϕ θ , v = 9 cos ⁡ θ ,   9 sen θ , z θ , v

Ou seja, como é uma superfície precisamos necessariamente de dois parâmetros. Como um deles sumiu, inventamos um outro qualquer v . Como se trata de um cilindro, podemos deixar o z sendo o próprio parâmetro v :

z = v

Logo:

ϕ θ , v = 9 cos ⁡ θ ,   9 sen θ , v

E está parametrizado.

Passo 3

Agora precisamos dos limites desses parâmetros.

O enunciado nos fala que ele quer “a parte do cilindro no primeiro octante”, certo? Isso nos dá o intervalo de θ

θ ∈ 0 , π 2

Passo 4

Agora precisamos achar o intervalo de v .

Repara que z = v , então o v vai estar limitado pelos planos z = y e z = 2 y , ou seja,

z ∈ y , 2 y

Mas como z = v :

y ≤ v ≤ 2 y

Só que y = 9 sen ⁡ θ , então temos que:

9 sen ⁡ θ ≤ v ≤ 18 sen ⁡ θ

E agora temos os dois limites da nossa parametrização, ela vai ser

φ θ , v = 9 cos ⁡ θ ,   9 sen θ , v

Com

θ ∈ 0 , π 2

v ∈ 9 sen ⁡ θ , 18 sen ⁡ θ

Passo 5

Agora que temos a parametrização, precisamos fazer a nossa integral de superfície.

Para isso precisamos achar o vetor normal n → , para depois pegar o módulo dele.

Lembra como faz?

Vamos fazer o nosso produto vetorial

n → = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ v

Vamos achar essas derivadas parciais primeiro, lembrando que nossa parametrização é φ θ , v = 9 cos ⁡ θ ,   9 sen θ , v

Então nossas derivadas parciais são:

∂ φ ∂ θ = - 9 sen ⁡ θ , 9 cos ⁡ θ , 0

E

∂ φ ∂ v = 0,0 , 1

Então nosso vetor normal vai ser:

n → = i j k - 9 sen ⁡ θ 9 cos ⁡ θ 0 0 0 1

n → = 9 cos ⁡ θ i ^ + 9 sen ⁡ θ j ^

Passo 6

O módulo disso vai ficar

n → = 9 cos ⁡ θ 2 + 9 sen ⁡ θ 2 = 81 ( cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 81   = 9

Passo 7

A nossa integral vai ser

∬ σ x 2 y d S

Vamos trocar x e y pelos seus valores da parametrização

Vamos ter

∫ 0 π 2 ∫ 9 sen ⁡ θ 18 sen ⁡ θ 9 cos ⁡ θ 2 ⏟ x 2 9 sen ⁡ θ ⏟ y . 9 d v d θ ⏟ d S

6561 ∫ 0 π 2 ∫ 9 sen ⁡ θ 18 sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d v d θ

Como a questão não pede pra gente resolver a integral, a resposta é isso aí =D

Resposta

6561 ∫ 0 π 2 ∫ 9 sen ⁡ θ 18 sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d v d θ

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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
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Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1