Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007, pp. 1154 – 20 - modificado

Monte, mas não calcule, uma integral iterada igual à integral dada

σ x 2 y d S

Onde σ é a porção do cilindro x 2 + y 2 = 9 2 no primeiro octante entre os planos x = 0 , x = 9 , z = y e z = 2 y

Passo 1

O primeiro passo é parametrizar a superfície σ !

Vamos dar uma olhada como é essa superfície e depois parametriza-la.

Primeiro, temos um cilindro circular. Esse círculo tem raio 9 , então vamos ter

Mas ele disse que é limitado pelo plano x = 0 e x = 9 , então vamos ter que x vai de 0 à 9 só.

Então só vamos pegar a parte do cilindro nessa faixa, que vai ficar

Ele também disse que vai ser limitado pelo planos z = y e z = 2 y , vamos desenhar esses planos aqui

Então a nossa superfície vai ser o cilindro vermelho limitado entre esses planos azuis.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos para a parametrização desse cilindro

Podemos parametrizar a superfície com coordenadas cilíndricas. Segue que:

x = r cos θ

y = r   sen θ

Aplicando na equação do cilindro:

r cos θ 2 + r   sen θ 2 = 9 2

r 2 = 9 2 r = 9

Portanto, o parâmetro r sumiu. Até agora temos que a nossa parametrização ϕ é:

ϕ θ , v = 9 cos θ ,   9 sen θ , z θ , v

Ou seja, como é uma superfície precisamos necessariamente de dois parâmetros. Como um deles sumiu, inventamos um outro qualquer v . Como se trata de um cilindro, podemos deixar o z sendo o próprio parâmetro v :

z = v

Logo:

ϕ θ , v = 9 cos θ ,   9 sen θ , v

E está parametrizado.

Passo 3

Agora precisamos dos limites desses parâmetros.

O enunciado nos fala que ele quer “a parte do cilindro no primeiro octante”, certo? Isso nos dá o intervalo de θ

θ 0 , π 2

Passo 4

Agora precisamos achar o intervalo de v .

Repara que z = v , então o v vai estar limitado pelos planos z = y e z = 2 y , ou seja,

z y , 2 y

Mas como z = v e y = 9 sen θ vamos ter

y v 2 y

9 sen θ v 18 sen θ

E agora temos os dois limites da nossa parametrização, ela vai ser

ϕ θ , v = 9 cos θ ,   9 sen θ , v

Com

θ 0 , π 2

v 9 sen θ , 18 sen θ

Passo 5

Agora que temos a parametrização, precisamos fazer a nossa integral de superfície.

Para isso precisamos achar o vetor normal n , para depois pegar o módulo dele.

Lembra como faz?

Vamos fazer o nosso produto vetorial

n = φ θ × φ v

Vamos achar essas derivadas parciais primeiro

φ θ = - 9 sen θ , 9 cos θ , 0

E

φ v = 0,0 , 1

Então nosso vetor normal vai ser

n = i j k - 9 sen θ 9 cos θ 0 0 0 1

n = 9 cos θ i ^ + 9 sen θ j ^

Passo 6

O módulo disso vai ficar

n = 9 cos θ 2 + 9 sen θ 2 = 81 = 9

Passo 7

A nossa integral vai ser

σ x 2 y d S

Vamos trocar x e y pelos seus valores da parametrização

Vamos ter

0 π 2 9 sen θ 18 sen θ 9 cos θ 2 x 2 9 sen θ y . 9 d v d θ d S

6561 0 π 2 9 sen θ 18 sen θ cos 2 θ sen θ d v d θ

Como a questão não pede pra gente resolver a integral, a resposta é isso aí =D

Resposta

6561 0 π 2 9 sen θ 18 sen θ cos 2 θ sen θ d v d θ

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