(2) O valor da integral da função escalar f x ,   y ,   z = z sobre a superfície S = x ,   y ,   z ∈ R 3 | - 1 ≤ x ≤ 1 ,   z 2 + y 2 = 1 ,   z ≥ 0 é:

  1. 4
  2. 1
  3. - 1
  4. 4 / 3
  5. 8

Passo 1

Montemos primeiro a integral que o problema quer que calculemos e como ele quer uma integral de uma função escalar sobre uma superfície, só pode ser uma integral de superfície escalar !

∬ S   f x ,   y ,   z   d S

Como toda e boa integral de superfície seguiremos um passo a passo:

  1. Parametrizar a superfície S pedida no problema
  2. Encontrar o termo d S
  3. Substituir os termos da parametrização em f

E aí? Bora? :D

Passo 2

Precisamos parametrizar a superfície que queremos a área, mas por falar nisso, quem é essa superfície?

Bem, basta seguir o enunciado que indica que estamos sob um pedacinho de cilindro ao redor de x , só que acima do plano z = 0 :

Parametrizar esse pedacinho de cilindro pode ser feito utilizando as primas das coordenadas cilíndricas:

x = R cos ⁡ θ

y = R sin ⁡ θ

z = z

Porém com duas diferenças:

1º é que com essa parametrização, estaríamos ao redor de z , como não é verdade, trocamos   x por z :

z = R cos ⁡ θ

y = R sin ⁡ θ

x = x

2º é que aqui não podemos ter três incógnitas (uma superfície só tem 2 ), por isso R desaparece e vira o raio do cilindro que é 1 :

z = cos ⁡ θ

y = sin ⁡ θ

x = x

E a parametrização final é:

σ x ,   θ = x , sin ⁡ θ , cos ⁡ θ

Como θ está no plano y z agora, e, além disso, o cosseno é o z , θ começa a girar saindo do z e no sentido anti-horário...

Então no nosso caso, o θ tem que sair do - 90 ° e ira até 90 ° saca?

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

e x varia de - 1 até 1 (Pelo próprio enunciado)

- 1 ≤ x ≤ 1

Passo 3

Para encontrar o termo d S basta que apliquemos a fórmula:

d S = N → d x d θ

Onde esse vetor norma N → ...

N ��� = ∂ σ ∂ x × ��� σ ∂ θ

Como σ x ,   θ = x , sin ⁡ θ , cos ⁡ θ , podemos calcular essas derivadas parciais:

∂ σ ∂ x = 1 ,   0 ,   0

∂ σ ∂ θ = 0 ,   cos ⁡ θ ,   - sin ⁡ θ

Um produto vetorial é dado pelo determinando dos vetores calculados...

N → = ∂ σ ∂ x × ∂ σ ∂ θ

N → = i → j → k → 1 0 0 0 cos ⁡ θ - sin ⁡ θ

Calculando esse determinante:

N → = cos ⁡ θ k → - - sin ⁡ θ j →

Logo, o vetor normal é:

N → = 0 , sin ⁡ θ , cos ⁡ θ

Toda superfície tem dois vetores normais: esse e a versão negativa desse. Para nós, isso não interessa, pois queremos o módulo:

N → = 0 2 + sin ⁡ θ 2 + cos ⁡ θ 2

N → = 1

Portanto:

d S = d x d θ

Passo 4

Substituindo também a função f ( x ,   y ,   z ) pelos termos da parametrização ganhamos...

  f x ,   y ,   z = z   →

f σ x ,   θ = cos ⁡ θ

Voltando então para a integral e substituindo tudo...

∬ S   f x ,   y ,   z   d S = ∫ - π 2 π 2 ∫ - 1 1 cos ⁡ θ   d x d θ

Resolvendo a integral dupla...

∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ ∫ - 1 1   d x d θ =

2 ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ d θ =

2 sin ⁡ π 2 - sin ⁡ - π 2 =

2 1 - - 1 = 4

Resposta

a )     4

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1