Determine as equações paramétricas e a área da superfície obtida pela rotação da função f x = e - x , x ∈ 0,2 em torno do eixo x .

(Não precisa resolver a integral)

Passo 1

Bom, vamos começar parametrizando essa superfície aí. Temos a função f x = e - x girando em torno do eixo x .

Lembra que a gente tem um macete para parametrizar superfícies de revolução? Primeiro, vamos parametrizar a curva f x = e - x , pertencente ao plano x y . Como é uma curva, vamos usar t como parâmetro, temos

x ( t ) = t

y ( t ) = e - x = e - t

Portanto, podemos parametrizar a curva assim

r t = t , e - t

Como o problema diz que 0 ≤ x ≤ 2 , temos 0 ≤ t ≤ 2 .

Passo 2

Até ai beleza, né? Agora, para girar essa curva em torno do eixo x , vamos imaginar que o “raio” de rotação é y ( t ) , a distância de cada ponto da superfície ao eixo x . Para uma curva genérica que gira em torno do eixo x , temos algo assim:

Girando um ângulo θ , podemos dizer que a variável x da superfície se mantém a mesma da curva

x = x ( t )

E y ( t ) serve como raio de rotação. Fazendo as projeções da curva rotacionada, podemos ver que:

y = y t cos ⁡ θ

z = y t s e n   θ

Em resumo: temos uma curva no plano x y e vamos girá-la em torno de x . A variável x , paralela ao eixo de rotação não se altera, x = x ( t ) . As outras duas variáveis serão escritas em função de y ( t ) , a coordenada da parametrização da curva que nos restou. Como y é pertencente ao plano a curva, apresentará cos ⁡ θ e z , não pertencente, apresentará sen ⁡ θ .

Beleza? Agora, como a parametrização da curva diz que

x ( t ) = t

y ( t ) = e - t

Podemos escrever, para a superfície

x = t

y = e - t cos ⁡ θ

z = e - t sen ⁡ θ

Ou seja, temos a parametrização

φ θ , t = t ,   e - t cos ⁡ θ , e - t sen ⁡ θ

Como já tínhamos o intervalo t da parametrização da curva, ele é o mesmo

0 ≤ t ≤ 2

Como temos uma volta completa em torno do eixo x

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Agora, vamos usar essa fórmula aqui para calcular a área da superfície:

A S = ∬ D   ∂ φ ∂ u × ∂ φ ∂ v d u d v

Primeiramente, temo que calcular ∂ φ ∂ t e ∂ φ ∂ θ

φ θ , t = t ,   e - t cos ⁡ θ , e - t sen ⁡ θ

∂ φ ∂ t = ( 1 , - e - t cos ⁡ θ , - e - t sen ⁡ θ )

∂ φ ∂ θ = ( 0 , - e - t sen ⁡ θ , e - t cos ⁡ θ )

Passo 4

Calcular N → t , θ

N → t , θ = ∂ φ ∂ t × ∂ φ ∂ θ

N → t , θ = ( 1 , - e - t cos ⁡ θ , - e - t sen ⁡ θ ) × ( 0 , - e - t sen ⁡ θ , e - t cos ⁡ θ )

N → t , θ = i j k 1 , - e - t cos ⁡ θ - e - t sen ⁡ θ 0 - e - t sen ⁡ θ e - t cos ⁡ θ

N → t , θ = - ( e - 2 t cos 2 ⁡ θ + e - 2 t s e n 2 θ , e - t cos ⁡ θ , e - t s e n   θ )

N → t , θ = - ( e - 2 t , e - t cos ⁡ θ , e - t s e n   θ )

N → t , θ = e - 4 t + e - 2 t cos 2 ⁡ θ + e - 2 t s e n 2 θ

N → t , θ = e - 4 t + e - 2 t

N → t , θ = e - t e - 2 t + 1

Passo 5

Agora vamos montar a integral

A S = ∬ D   e - t e - 2 t + 1 d t d θ

Onde D é o domínio da superfíce , que já encontramos

0 ≤ t ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Substituindo na integral, temos:

A S = ∫ 0 2 ∫ 0 2 π e - t e - 2 t + 1 d θ d t

Passo 6

Para simplificar a resposta, podemos integrar em relação a θ :

= ∫ 0 2 θ e - t e - 2 t + 1 0 2 π d t =

= 2 π ∫ 0 2 e - t e - 2 t + 1 d t =

Pronto, como o problema não pede para calcularmos a integral, paramos por aqui.

Resposta

φ θ , t = t ,   e - t cos ⁡ θ , e - t sen ⁡ θ

A ( S ) = 2 π ∫ 0 2 e - t e - 2 t + 1 d t

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