Calcule a massa das superfícies sendo δ ( x , y , z ) a densidade pontual de massa para:

b )   S   é o triângulo com vértices 1,0 , 0 ,   ( 1,1 , 1 ) e ( 0,0 , 2 ) e δ x , y , z = x z .

Passo 1

Ooi pessoal, como vocês estão?

Então, nessa questão precisamos calcular a massa de uma superfície S . Pra fazer isso, nos foi dada a função densidade de massa dessa superfície.

Massa! Pra descobrir a massa de S precisamos usar o recurso da integral de superfície! Basicamente, podemos afirmar que:

m S =   ∫ ∫ S δ x , y , z d σ

Perfeito! Então, o nosso problema se resume a resolver a integral de superfície acima. E, para resolver uma integral de superfície podemos seguir os seguintes passos:

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S δ x , y , z d S

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função δ ( x , y , z ) como função da parametrização

δ ϕ u , v

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

N → = ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S δ x , y , z d S = ∫ ∫ D δ ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Excelente! Então, vamos aplicar tudo isso no nosso item 😊

Passo 2

Beleza! No caso desse item, temos que:

δ x , y , z = x z

Além disso, S é a superfície do triângulo de vértices 1,0 , 0 ,   ( 1,1 , 1 ) e ( 0,0 , 2 ) .

Vamos começar:

1 )   Parametrizar a superfície S :

Antes de parametrizar efetivamente essa superfície, vamos encontrar o plano em que esse triângulo está situado.

Para isso, vamos começar encontrando dois vetores que pertencem ao plano do triângulo. Vamos usar os vértices:

v 1 = 1,0 , 0 - 0,0 , 2

= ( 1,0 , - 2 )

E, o segundo vetor:

v 2 = 1,1 , 1 - 0,0 , 2

= ( 1,1 , - 1 )

Agora vamos tirar o produto vetorial desses vetores:

v 1 × v 2 = i j k 1 0 - 2 1 1 - 1

= 2 i + - 1 j + k

Daí, temos que a equação do plano é dada por:

2 x - y + z = d

Pra descobrir o valor de d podemos substituir um dos vértices do triângulo, pois esse vértice também pertence ao plano. Assim, substituindo ( 1,0 , 0 ) , temos:

2 ⋅ 1 - 0 + 0 = d

∴ d = 2

Logo:

2 x - y + z = 2

Show! Encontramos a equação do plano. Podemos então definir y explicitamente em função de x e z , que serão os nossos parâmetros:

y = 2 x + z - 2

Então, parametrizando a superfície desse plano, temos:

ϕ x , z = x ,   2 x + z - 2 ,   z

Massa! Mas, ainda precisamos encontrar o intervalo de variação dessas variáveis.

Para isso, podemos tomar o plano x z (ou seja, y = 0 ). Da nossa equação do plano, teremos:

2 x + z = 2

∴ z ≤ 2 - 2 x

E, vendo os vértices:

z ≥ 0

Além disso, analisando também os vértices do triângulo, temos que:

0 ≤ x ≤ 1

Perfeito! Com isso finalizamos a parametrização do triângulo, conhecendo também o intervalo de variação dos seus parâmetros.

Passo 3

A próxima etapa é:

2 )   Escrever a função f ( x , y , z ) como função da parametrização:

No nosso caso, a nossa função f é:

f x , y , z = δ x , y , z = x z

Como x e z são os nossos próprios parâmetros, podemos deixar a função δ escrita dessa mesma forma.

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície:

Como vimos no passo anterior, o vetor normal ao plano da superfície do triângulo é:

N → = ( 2 ,   - 1 ,   1 )

Tirando seu módulo, temos:

N → = 2 2 + - 1 2 + 1 1

= 6

Muito bom!

Agora já reunimos tudo que precisamos para montar a nossa integral. Então vamos lá!

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S δ x , y , z d S = ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x x z 6 d z d x

Perfeito! Vamos resolver essa integral!

6 ∫ 0 1 x ∫ 0 2 - 2 x z d z d x

=   6 ∫ 0 1 x ⋅ z 2 2 0 2 - 2 x

=   6 ∫ 0 1 x ⋅ 2 - 2 x 2 2

Logo:

6 2 ⋅ ∫ 0 1 x ⋅ 4 - 8 x + 4 x 2 d x  

Assim:

6 2 ⋅ 4 x 2 2 - 8 x 3 3 + 4 x 4 4 0 1

= 6 2 ⋅ 2 - 8 3 + 1

= 6 2 ⋅ 1 3

Portanto:

∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 x x z 6 d z d x = 6 6

Prontinho galera! É isso aí, valeeeeu!

Resposta

6 6

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