Calcule a integral de superfície ∬ S   x 2 + z 2 d S , onde S é a parte do elipsóide x 2 2 + y 2 3 + z 2 2 = 1 contida no semi-espaço y ≥ 0 .

Passo 1

S é isso aqui:

Beleza?

Como é um elipsoide, vamos fazer a parametrização em coordenadas esféricas (com os coeficientes do elipsoide):

x = 2 sen ⁡ φ cos ⁡ θ

y = 3 s e n   φ   s e n   θ

z = 2 cos ⁡ φ

σ r , θ = 2 sen ⁡ φ cos ⁡ θ ,   3 s e n   φ   s e n   θ , 2 cos ⁡ φ  

Como y ≥ 0 , vemos pela figura, que 0 ≤ θ ≤ π . Temos também 0 ≤ φ ≤ π . É, só que temos um problema.

Quando a gente calcula a normal a uma esfera em coordenadas esféricas, se você se lembrar, vamos formando identidades s e n 2 + cos 2 ⁡   = 1 e simplificando a expressão.

Só que, quando nós colocamos esses coeficientes na mudança esférica, não podemos fazer isso. Pelo menos, não simplificar tanto. Aí o problema cai em uma integral meio impossível (pode tentar).

Isso acontece porque as coordenadas esféricas são definidas com simetria em relação ao eixo z , ou seja, em geral, a região que tem simetria em relação a esse eixo fica bem escrita nessas coordenadas (cones, esferas, etc). Acontece que esse elipsoide não tem essa simetria: ele é deformado na direção y (é a variável com coeficiente diferente).

Bem, se ele é deformado nessa direção, quer dizer que ele tem simetria em relação a esse eixo né? Então, vamos fazer o eixo y “virar” o nosso novo eixo z :

z = sen ⁡ φ cos ⁡ θ

x = s e n   φ   s e n   θ

y = cos ⁡ φ

A gente “desceu” x , y e z uma linha na mudança esférica. Agora y tem a definição que em geral damos para z . Faltam os coeficientes, né?

z = 2 sen ⁡ φ cos ⁡ θ

x = 2 s e n   φ   s e n   θ

y = 3 cos ⁡ φ

Beleza? Isso nos dá essa parametrização aqui:

σ θ , φ = 2 s e n   φ   s e n   θ ,   3 cos ⁡ φ , 2 sen ⁡ φ cos ⁡ θ  

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ φ ≤ π / 2 . Lembre-se de que o ângulo θ é marcado no plano x z e φ em relação a y .

Passo 2

Temos uma integral de superfície escalar, então precisamos achar a norma do vetor normal, primeiro vamos achar o vetor normal, ele vai ser

N θ , φ = ∂ σ ∂ θ × ∂ σ ∂ φ

Vamos começar achando as derivadas da parametrização

∂ σ ∂ θ = 2 sen ⁡ φ cos ⁡ θ ,   0 , - 2 sen ⁡ φ   sen ⁡ θ

∂ σ ∂ φ = 2 cos ⁡ φ s e n   θ , - 3 sen ⁡ φ , 2 cos ⁡ φ cos ⁡ θ

O vetor normal vai ser

N θ , φ = i j k 2 sen ⁡ φ cos ⁡ θ 0 - 2 sen ⁡ φ   sen ⁡ θ 2 cos ⁡ φ s e n   θ - 3 sen ⁡ φ 2 cos ⁡ φ cos ⁡ θ

N θ , φ = - 6 sen 2 ⁡ φ sen ⁡ θ , - 2 sen ⁡ φ cos ⁡ φ , - 6 sen 2 ⁡ φ cos ⁡ θ

Passo 3

A normal vai ficar

N θ , φ = 6 s e n 4 φ + 4 s e n 2 φ cos 2 ⁡ φ

N θ , φ = 6 s e n 2 φ   s e n 2 φ + 4 s e n 2 φ cos 2 ⁡ φ

N θ , φ = s e n 2 φ 6 sen 2 ⁡ φ + 4 cos 2 ⁡ φ

N θ , φ = s e n 2 φ 2 sen 2 ⁡ φ + 4 sen 2 ⁡ φ + 4 cos 2 ⁡ φ ⏟ 4

N θ , φ = s e n 2 φ 2 sen 2 ⁡ φ + 4

N θ , φ = sen ⁡ φ 2 s e n 2 φ + 4

Passo 4

A integral vai ficar

∬ S   x 2 + z 2 d S = ∬ D f σ θ , φ N θ , φ d θ d φ

O que nos dá

∬ S   x 2 + z 2 d S = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π 2 s e n 2 φ   sen ⁡ φ 2 s e n 2 φ + 4 d θ d φ =

= 2 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π s e n 3 φ   s e n 2 φ + 2 d θ d φ =

Passo 5

Agora temos que resolver isso aí:

= 2 2 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π s e n φ   ( 1 - cos 2 ⁡ φ ) s e n 2 φ + 2 d θ d φ =

= 4 π 2 ∫ 0 π / 2 s e n φ   ( 1 - cos 2 ⁡ φ ) s e n 2 φ + 2 d φ =

Agora fazemos a substituição:

cos ⁡ φ = u                   d u = - s e n   φ   d φ

φ = 0             →             u = 1

φ = π 2             →             u = 0

= - 4 π 2 ∫ 1 0 ( 1 - u 2 ) 1 - u 2 + 2 d u =

= 4 π 2 ∫ 0 1 ( 1 - u 2 ) 3 - u 2 d u =

u = 3 s e n   v       →           u 2 = 3 s e n 2 v             →         d u = 3 cos ⁡ v

= 4 π 2 ∫     3 cos ⁡ v ( 1 - 3 s e n 2 v   ) 3 - 3 s e n 2 v     d v =

= 12 π 2 ∫     cos ⁡ v 1 - 3 s e n 2 v   cos ⁡ v d v =

= 12 π 2 ∫     cos 2 ⁡ v 1 - 3 1 - cos 2 ⁡ v   d v =

= 12 π 2 ∫     cos 2 ⁡ v - 3 cos 2 ⁡ v + 3 cos 4 ⁡ v d v =

= 12 π 2 ∫     3 cos 4 ⁡ v - 2 cos 2 ⁡ v d v =

= - 12 π 2 ∫     2 cos 2 ⁡ v - 3 cos 4 ⁡ v d v =

Usando a relação

cos 2 ��� θ = 1 + c o s ⁡ ( 2 θ ) 2

cos 4 ⁡ θ = 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ ( 2 θ ) 4 = 1 + 2 cos ⁡ 2 θ 4 + 1 + c o s ⁡ ( 4 θ ) 8 = 3 8 + cos ⁡ 2 θ 2 + c o s ⁡ ( 4 θ ) 8

= - 12 π 2 ∫     1 + c o s ⁡ ( 2 v ) - 3 3 8 + cos ⁡ 2 v 2 + c o s ⁡ ( 4 v ) 8 d v =

= - 12 π 2 ∫     1 + cos ⁡ 2 v - 9 8 - 3 2 cos ⁡ 2 v - 3 8 c o s ⁡ ( 4 v ) d v =

= - 12 π 2 ∫     - 1 8 - 1 2 cos ⁡ 2 v - 3 8 c o s ⁡ ( 4 v ) d v =

= - 12 π 2 - θ 8 - 1 4 s e n 2 v - 3 32 s e n ( 4 v ) ? ? =

Lembrando que

s e n 2 v = s e n v cos ⁡ ( v )

c o s 2 v = cos 2 ��� v - s e n 2 v

= 12 π 2 θ 8 + 1 2 s e n   v cos ⁡ v + 3 16 s e n 2 v cos ⁡ ( 2 v ) ? ? =

= 12 π 2 θ 8 + 1 2 s e n   v cos ⁡ v + 3 8 s e n v cos ⁡ v cos 2 ⁡ v - s e n 2 v ? ? =

Agora precisamos achar esses limites de integração, lembrando que tínhamos

u = 0

u = 1

Onde

u = 3 s e n   v       →     v = a r c s e n u 3

= 12 π 2 a r c s e n u 3 8 + 1 2 u 3 1 - u 2 3 + 3 8 u 3 1 - u 2 3 1 - u 2 3 - u 2 3 0 1 =

= 12 π 2 a r c s e n 1 3 8 + 1 2 1 3 2 3 + 3 8 1 3 2 3 1 3 =

= 12 π 2 1 8 a r c s e n 1 3 + 2 6 + 2 24 =

= 12 π 2 1 8 a r c s e n 1 3 + 5 2 24 =

= π 2 2 3 a r c s e n 1 3 + 5 2 =

ACABAMOSSS!

Resposta

π 2 2 3 a r c s e n 1 3 + 5 2

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