1. Calcule a integral de superfície:

a) ∫ ∫ S y z d S , S é a parte do plano x + y + z = 1 que está no primeiro octante.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos uma integral de superfície! No caso a integral é

∫ ∫ S y z d S

E S é o plano x + y + z = 1 que está contido no primeiro octante, ou seja, com x , y e z positivos.

Ta sabendo como podemos calcular essa integral?? 🤔

Observando a integral, vemos que temos um caso escalar de integral de superfície, dessa forma o que temos que fazer é parametrizar a superfície S passando de três para duas variáveis.

Depois disso derivamos o vetor paramétrico e calculamos o seu módulo para encontrar um vetor normal a S .

Por fim, substituímos as variáveis da função de integração para a parametrização que fizemos e multiplicamos a nova função de integração com o modulo do vetor normal a S .

Entendeu? Vamos ver na pratica que vai ficar mais fácil! 😁

Passo 2

A superfície S é dada por x + y + z = 1 e temos que escolher duas variáveis para receber a troca de coordenadas, como nossa função é dada por y z , podemos escolher y e z para serem u e v , respectivamente.

Essa escolha vai facilitar no calculo da integral mais tarde.

Escrevendo x em função de y e z , temos

x = 1 - y - z

E como y = u e z = v , x será

x = 1 - u - v

Dessa forma, nosso vetor paramétrico P de S será

P = 1 - u - v , u , v

Derivando P com relação a u , temos

∂ P ∂ u = ∂ 1 - u - v , u , v ∂ u

∂ P ∂ u = - 1,1 , 0

Agora derivamos P com relação a v

∂ P ∂ v = ∂ 1 - u - v , u , v ∂ v

∂ P ∂ v = - 1,0 , 1

Fizemos essa derivada pra obter o vetor normal a S , esse vetor é justamente o produto vetorial entre esses vetores.

∂ P ∂ u x ∂ P ∂ v = i j k - 1 1 0 - 1 0 1

Calculando esse determinante, vamos obter

∂ P ∂ u x ∂ P ∂ v = 1 i + 1 j + 1 k

Com N que é normal a S é dado por

N = 1,1 , 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Precisamos calcular o módulo desse vetor agora, ou seja N . Como o modulo de um vetor é dado pela raiz da soma do quadrado de suas coordenadas, temos que

N = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

Agora temos que inserir os valores da parametrização na nossa função de integração

f x , y , z = y z → f P u , v = u v

Até agora, com as informações que obtemos, a integral é dada por

∫ ∫ S u v 3 d u d v

Estamos quase conseguindo todos os valores que precisamos, mas falta obter os limites de integração de d u e d v .

Pra obter esses valores, vamos investigar os limites da nossa superfície S . Foi dito que ela está contida no primeiro octante, ou seja, apenas nos valores de x , y e z maiores que 0 .

No início, definimos que x = 1 - y - z , como y e z só podem assumir valores positivos, o máximo valor para x é 1 e o mínimo para y e z é 0 .

Isolando y na mesma equação, vamos obter y = 1 - x - z , pela mesma ideia anterior, o maior valor que y pode assumir é 1 .

Agora fazendo o mesmo para z , temos z = 1 - x - y e novamente o maior valor que z pode assumir é 1 !

Com isso, temos que x , y e z variam entre 0 e 1 .

Como y é igual a u e z é igual a v , correto? u e v também variam entre 0 e   1 !

Entendeu essa parte? 😎

Passo 4

Por fim, a nossa integral com os limites de integração aplicados, é

∫ 0 1 ∫ 0 1 3 u v d u d v

Integrando com relação a u pelo método da integração polinomial, temos

∫ 3 u v d u = 3 u 1 + 1 1 + 1 v = 3 u 2 v 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 3 u v d u = 3 1 2 v 2 - 3 0 2 v 2

∫ 0 1 3 u v d u = 3 v 2

Agora integramos o resultado com relação a v pelo mesmo método de integração anterior.

∫ 3 v 2 d v = 3 2 v 1 + 1 1 + 1 = 3 v 2 4

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 1 3 v 2 d v = 3 1 2 4 - 3 0 2 4

∫ 0 1 3 v 2 d v = 3 4

Com isso, obtemos que a integral de superfície resulta em 3 4

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ ∫ S y z d S = 3 4

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