Calcule a área da superfície da esfera de raio a , centrada na origem, limitada por dois paralelos e dois meridianos, sabendo que o ângulo entre os meridianos é α e a distância entre os planos que contêm os paralelos é h .

Passo 1

Essa superfície foi descrita de uma forma meio diferente, né? Ele fala de meridianos e paralelos, coisa que não vimos antes. Isso vai representar aqui exatamente o que representa quando estudamos isso no ensino fundamental, os meridianos são esses aqui

E os paralelos são esses aqui

Portanto, vamos calcular a área de uma esfera normal, essa parte de paralelos e meridianos só vão servir para delimitar nossa região, beleza?

Passo 2

Vamos usar a parametrização normal da esfera de raio a :

x = a cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ

y = a sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

z = a cos ⁡ ϕ

Como o ângulo entre os meridianos é α , se considerarmos que θ começa em zero, os limites dele serão

0 ≤ θ ≤ α

Os paralelos vão entrar de uma forma um pouco mais diferente na conta. Perceba que no caso dos meridianos, α era um ângulo, então delimitava θ direto. A informação dada dos paralelos é uma distância! Com isso, vamos precisar achar o ângulo associado à essa distância. Vê se fica mais claro com esses gráficos aqui

Podemos considerar os paralelos como esses planos que cortam a esfera, certo? O ângulo da origem até a interseção da esfera com os planos vão ser os limites de ϕ ! Sabemos que a distância no eixo z entre os planos é h , portanto, a distância da origem até um deles é h 2

Se projetarmos esse gráfico no plano y z , fica assim

Perceba que essas linhas pretas são justamente os limites de ϕ , com essa imagem fica mais fácil relacionar h com ϕ . Se pensarmos em h como a altura do triangulo retângulo que possui um ângulo igual a ϕ , percebemos que

cos ⁡ ϕ 1 = h 2 a

cos ⁡ ϕ 2 = - h 2 a

Portanto, os ângulos que vão limitar ϕ são

arccos ⁡ h 2 a ≤ ϕ ≤ arccos ⁡ - h 2 a

Essa função arccos ⁡   não é muito usada, né? Não se assuste! Ela não tem nada demais, ela só representa um ângulo que não sabemos o valor exato, mas sabemos o seu cosseno.

Passo 3

Tendo delimitado θ e ϕ com os paralelos e meridianos, vamos agora calcular o vetor normal para podermos integrar e descobrir a área. Sabemos que a parametrização é essa

φ θ , ϕ = a cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , a sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , a cos ⁡ ϕ

N → = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ ϕ

∂ φ ∂ θ = - a sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , a cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , 0

∂ φ ∂ ϕ = a cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ , a sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , - a sen ⁡ ϕ

N → = i j k - a sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ a cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 0 a cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ a sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ - a sen ⁡ ϕ

N → = ( - a 2 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ , - a 2 sen ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ , - a 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ )

Passo 4

Vamos tirar o módulo desse vetor

N → = - a 2 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ 2 + - a 2 sen ⁡ θ sen 2 ⁡ ϕ 2 + - a 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ 2

= a 4 sen 4 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + a 4 sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ =

= a 4 sen 4 ⁡ ϕ + a 4 sen 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ =

= a 4 sen 2 ⁡ ϕ ( sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ ) =

= a 4 sen 2 ⁡ ϕ = a 2 sen ⁡ ϕ

N → = a 2 sen ⁡ ϕ

Passo 5

A integral para calcularmos a área é essa aqui

∬ S N → d S = ∫ 0 α ∫ arccos ⁡ h 2 a arccos ⁡ - h 2 a a 2 sen ⁡ ϕ d θ d ϕ

Agora é só resolver! Vamos lá

= a 2 ∫ 0 α - cos ⁡ ϕ arccos ⁡ h 2 a arccos ⁡ - h 2 a d θ

Percebe o que vai acontecer agora? Vamos fazer o cosseno do arccos ⁡   dos dois ângulos! Em outras palavras é mais ou menos isso aqui “Cosseno do arco cujo cosseno é h 2 a ”, isso dá exatamente h 2 a !

O mesmo se aplica ao arccos ⁡ - h 2 a , o resultado do cosseno desse ângulo é - h 2 a ! Com isso

a 2 ∫ 0 α - cos ⁡ ϕ arccos ⁡ h 2 a arccos ⁡ - h 2 a d θ = a 2 ∫ 0 α - - h 2 a - h 2 a d θ

= a 2 ∫ 0 α h a d θ = a 2 h a ∫ 0 α d θ

= a h θ θ = 0 θ = α = a α h

Resposta

a α h

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