Monte, mas não calcule, uma integral iterada à integral de superfície dada projetando σ no

  1. Plano x y
  2. Plano x z  
  3. Plano y z

∬ σ x y z d S

Onde σ é a porção do plano 2 x + 3 y + 4 z = 12 no primeiro octante.

Passo 1

a) Calma, é muita informação! Vamos organizar as informações e ver o que ele quer na questão! Primeiro vamos entender a superfície σ , que é um plano no primeiro octante.

Para desenhar um plano é interessante ver a interseção dele com cada eixo e ligar os pontos:

Para x = 0 e y = 0 →   z = 3

Para x = 0 e z = 0 →   y = 4

Para z = 0 e y = 0 →   x = 6

Assim a imagem do plano é:

Passo 2

Primeiro vamos fazer a integral projetada no plano x y , assim, devemos ter somente x   e y   variando. Então, devemos substituir z = f ( x , y ) e substituir na integral, logo:

2 x + 3 y + 4 z = 12

z = f x , y =   12 - 2 x - 3 y 4

Mas quando formos achar a integral iterada à integral de superfície dada projetada em σ , precisaremos multiplicar o módulo do vetor normal a superfície N →   . Deste modo, vamos fazer a parametrização explicita.

Podemos então fazer a parametrização explícita como abaixo

φ x , y = x , y , 12 - 2 x - 3 y 4 ,   x , y ∈ D

Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:

| | N → | | =   1 + ∂ f ∂ x 2 + ∂ f ∂ y 2

Como,

∂ f ∂ x = ∂ ( 12 - 2 x - 3 y 4 ) ∂ x = - 2 4  

∂ f ∂ y = ∂ ( 12 - 2 x - 3 y 4 ) ∂ y = - 3 4

Temos que:

N → ( x , y ) =   1 + - 2 4 2 + - 3 4 2 =   29 4

Agora podemos montar a integral não esquecendo de multiplicar N → ( x , y ) . Assim a integral fica,

∬ D x y   12 - 2 x - 3 y 4 29 4   d x d y

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para as outras duas integrais. No plano x z vamos fazer somente x   e z   variando, assim, devemos encontrar y = h ( x , z ) e substituir na integral, logo:

2 x + 3 y + 4 z = 12

y = h x , z =   12 - 2 x - 4 z 3

A parametrização explícita é dada por

φ x , z = x , 12 - 2 x - 4 z 3 , z ,   x , z ∈ D

Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:

| | N → | | =   1 + ∂ h ∂ x 2 + ∂ h ∂ z 2

Como,

∂ h ∂ x = ∂ ( 12 - 2 x - 4 z 3 ) ∂ x = - 2 3  

∂ h ∂ z = ∂ ( 12 - 2 x - 4 z 3 ) ∂ z = - 4 3

Temos que:

N → ( x , z ) =   1 + - 2 3 2 + - 4 3 2 =   29 3

Assim a integral fica:

∬ D x z   12 - 2 x - 4 z 3 29 3     d x d z

Passo 4

Para a última integral. No plano y z vamos fazer somente y   e z   variando, assim, devemos encontrar x = g ( y , z ) e substituir na integral, logo:

2 x + 3 y + 4 z = 12

x = g y , z = 12 - 3 y - 4 z 2

A parametrização explícita é dada por

φ y , z = 12 - 3 y - 4 z 2 , y , z ,   x , z ∈ D

Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:

| | N → | | =   1 + ∂ g ∂ y 2 + ∂ g ∂ z 2

Como,

∂ g ∂ y = ∂ ( 12 - 3 y - 4 z 2 ) ∂ y = - 3 2

∂ g ∂ z = ∂ ( 12 - 3 y - 4 z 2 ) ∂ z = - 4 2

N → y ,   z   =   1 + - 3 2 2 + - 4 2 2 = 29 2

Assim a integral fica:

∬ σ y z   12 - 3 y - 4 z 2 29 2 d y d z

Passo 5

O próximo passo é encontrar o limites de integração para cada integral. Ou seja, precisamos descobrir o domínio D . Mas antes de começar, vamos relembrar aquelas três contas que fizemos para montar o gráfico no Passo 1:

Para x = 0 e y = 0 →   z = 3

Para x = 0 e z = 0 →   y = 4

Para z = 0 e y = 0 →   x = 6

No plano x y , temos que o valor de z   é igual a zero. Logo, para um valor fixo de x = x 0 , vamos avaliar a variação de y :

2 x 0 + 3 y = 12

y = 12 - 2 x 0 3

Como estamos tratando do primeiro octante, y não pode ser negativo, variando de

0 ≤ y ≤ 12 - 2 x 3

Olhando para equações, podemos ver que o valor máximo que x pode ter é 6 . Ou seja,

0 ≤ x ≤ 6

Colocando os limites de integração na integral temos,

29 16   ∫ 0 6 ∫ 0 ( 12 - 2 x ) / 3   x y 12 - 2 x - 3 y d y d x

No plano x z , vamos seguir o mesmo raciocínio. Só que agora temos que o valor de y   é igual a zero. Logo, para um valor fixo de z = z 0 , vamos avaliar a variação de x :

2 x + 4 z 0 = 12

x = 12 - 4 z 0 2 = 6 - 2 z 0

Assim,

0 ≤ x ≤ 6 - 2 z

0 ≤ z ≤ 3

Colocando os limites de integração na integral temos,

29 9   ∫ 0 3 ∫ 0 6 - 2 z   x z 12 - 2 x - 4 z d x d z

Por fim, no plano y z , temos que o valor de x   é igual a zero. Logo, para um valor fixo de y = y 0 , vamos avaliar a variação de z :

3 y 0 + 4 z = 12

z = 12 - 3 y 0 4

Assim,

0 ≤ z ≤ 12 - 3 y 4

0 ≤ y ≤ 4

Colocando os limites de integração na integral temos,

29 4   ∫ 0 4 ∫ 0 ( 12 - 3 y ) / 4   y z 12 - 4 z - 3 y d z d y

Resposta

Assim temos que as integrais são:

29 16   ∫ 0 6 ∫ 0 ( 12 - 2 x ) / 3   x y 12 - 2 x - 3 y d y d x

29 9   ∫ 0 3 ∫ 0 6 - 2 z   x z 12 - 2 x - 4 z d x d z

29 4   ∫ 0 4 ∫ 0 ( 12 - 3 y ) / 4   y z 12 - 4 z - 3 y d z d y

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1