Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007, pp. 1153 - 15

Monte, mas não calcule, uma integral iterada à integral de superfície dada projetando σ no

  1. Plano x y
  2. Plano x z  
  3. Plano y z

σ x y z d S

Onde σ é a porção do plano 2 x + 3 y + 4 z = 12 no primeiro octante.

Passo 1

a) Calma, é muita informação! Vamos organizar as informações e ver o que ele quer na questão! Primeiro vamos entender a superfície σ , que é um plano no primeiro octante.

Para desenhar um plano é interessante ver a interseção dele com cada eixo e ligar os pontos:

Para x = 0 e y = 0   z = 3

Para x = 0 e z = 0   y = 4

Para z = 0 e y = 0   x = 6

Assim a imagem do plano é:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos fazer a integral projetada no plano x y , assim, devemos ter somente x   e y   variando. Então, devemos substiruir z = f ( x , y ) e substituir na integral, logo:

2 x + 3 y + 4 z = 12

z = f x , y =   12 - 2 x - 3 y 4

Podemos então fazer a parametrização explícita como abaixo

φ x , y = x , y , 12 - 2 x - 3 y 4 ,   x , y D

Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:

| | N | | =   1 + f x 2 + f y 2

Como,

f x = - 2 4   , f y = - 3 4

Assim a integral fica,

D x y   12 - 2 x - 3 y 4 29 4   d x d y

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para as outras duas integrais. No plano x z vamos fazer somente x   e z   variando, assim, devemos encontrar y = h ( x , z ) e substituir na integral, logo:

2 x + 3 y + 4 z = 12

y = h x , z =   12 - 2 x - 4 z 3

A parametrização explícita é dada por

φ x , z = x , 12 - 2 x - 4 z 3 , z ,   x , z D

Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:

| | N | | =   1 + h x 2 + h z 2

Como,

h x = - 2 3   , h z = - 4 3

Assim a integral fica:

D x z   12 - 2 x - 4 z 3 29 3     d x d z

Passo 4

Para a última integral. No plano y z vamos fazer somente y   e z   variando, assim, devemos encontrar x = g ( y , z ) e substituir na integral, logo:

2 x + 3 y + 4 z = 12

x = g y , z = 12 - 3 y - 4 z 2

omo o módulo da normal para a parametrização explícita é:

| | N y ,   z   | | =   1 + g y 2 + g z 2

Como,

g y = - 3 2   , g z = - 4 2

Assim a integral fica:

σ y z   12 - 3 y - 4 z 2 29 2 d y d z

Passo 5

O próximo passo é encontrar o limites de integração para cada integral. Ou seja, precisamos descobrir o domínio D .

No plano x y , temos que o valor de z   é igual a zero. Logo, para um valor fixo de x = x 0 , vamos avaliar a variação de y :

2 x 0 + 3 y = 12

y = 12 - 2 x 0 3

Assim,

0 y 12 - 2 x 3

0 x 6

No plano x z , temos que o valor de y   é igual a zero. Logo, para um valor fixo de z = z 0 , vamos avaliar a variação de x :

2 x + 4 z 0 = 12

x = 12 - 4 z 0 2 = 6 - 2 z 0

Assim,

0 x 6 - 2 z

0 z 3

No plano y z , temos que o valor de x   é igual a zero. Logo, para um valor fixo de y = y 0 , vamos avaliar a variação de z :

3 y 0 + 4 z = 12

z = 12 - 3 y 0 4

Assim,

0 z 12 - 3 y 4

0 y 4

Resposta

Assim temos que as integrais são:

29 16   0 6 0 ( 12 - 2 x ) / 3   x y 12 - 2 x - 3 y d y d x

29 9   0 3 0 6 - 2 z   x z 12 - 2 x - 4 z d x d z

29 4   0 4 0 ( 12 - 3 y ) / 4   y z 12 - 4 z - 3 y d z d y

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