Determine a área da superfície z = x y que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Vamos lá! Tem um passo a passo para achar essa área. Só seguir ele, que dá bom!

Primeira coisa é parametrizar a superfície. Como ela tá escrita como uma função de x e y explícita:

z = f x , y = x y

A gente pode parametrizar ela assim:

φ x , y = x , y , f x , y

φ x , y = x , y , x y

E ele diz que nossa superfície está dentro do cilindro, aí a gente pode escrever:

x 2 + y 2 ≤ 1

E como nossas variáveis da função estão no plano x y , o nosso domínio dessa parametrização vai ser dado por essa inequação!

D :   x 2 + y 2 ≤ 1

Ela representa todo o espaço do plano x y , dentro da circunferência de raio 1 e centro na origem, a qual rege nosso cilindro.

Bizu: Uma forma legal de fazer isso é imaginar que se tiver o sol de meio dia no verão batendo na nossa superfície que só existe dentro do cilindro, a sombra dela no plano x y vai ser esse espaço, um círculo, beleza?

Passo 2

Depois a gente precisa calcular nosso vetor normal. Quando a gente usa essa parametrização aí de cima, o vetor normal é mais tranquilo de achar. Ele tem essa cara:

N → = ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = - ∂ f ∂ x ,   - ∂ f ∂ y , 1

Aí para o nosso caso:

z = f x , y = x y

∂ f ∂ x = y ,     ∂ f ∂ y = x

N → = ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = - y ,   - x , 1

Passo 3

Belezaaa, a gente já tem o vetor normal a superfície, vamos jogar ele na nossa fórmulinha para achar a área superfície:

A S = ∫ ∫ D N → d A

A S = ∫ ∫ D x 2 + y 2 + 1 d A

Sendo que D : x 2 + y 2 ≤ 1 . Agora é calcular essa belezinha.

Passo 4

A gente tem uma integral num domínio circular, isso diz para gente usar a mudança de coordenadas polares!

x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     j a c = r

x 2 + y 2 = r 2

Aí a podemos limitar nossa variáveis a partir da inequação que define o domínio

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n   θ ≤ 1 ∴ r ≤ 1  

E assumir que ambas as variáveis começam no zero e que θ dá a volta completa, já que não temos mais informações para restringir esse domínio.

0 ≤ r ≤ 1 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

E nossa integral fica:

A S = ∫ ∫ D x 2 + y 2 + 1 d A

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 + 1 r d r d θ

Passo 5

Calculando essa bonita, vamos usar uma substituição simples:

u = r 2 + 1 ,     d u d r = 2 r ∴ d u 2 = r   d r

Achando os novos extremos de integração dessa mudança:

u 1 = 0 2 + 1 = 1

u 2 = 1 2 + 1 = 2

A S = ∫ 0 2 π ∫ 1 2 u 2 d u d θ = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 u 1 2 d u d θ

A S = 1 2 ∫ 0 2 π u 3 2 3 2 1 2 d θ = 1 2 ⋅ 2 3 ∫ 0 2 π u 3 2 1 2 d θ = 1 3 ∫ 0 2 π 2 2 - 1 d θ

A S = 2 π 3 2 2 - 1

Resposta

A S = 2 π 3 2 2 - 1

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Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1