Calcule a massa das superfícies sendo δ ( x , y , z ) a densidade pontual de massa para:

a )   S é a parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 contida no primeiro octante e δ x , y , z = y .

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo na paz com vocês?

Então, nessa questão precisamos calcular a massa de uma superfície S . Pra fazer isso, nos foi dada a função densidade de massa dessa superfície.

Massa! Pra descobrir a massa de S precisamos usar o recurso da integral de superfície! Basicamente, podemos afirmar que:

m S =   ∫ ∫ S δ x , y , z d σ

Perfeito! Então, o nosso problema se resume a resolver a integral de superfície acima. E, para resolver uma integral de superfície podemos seguir os seguintes passos:

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S δ x , y , z d S

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função δ ( x , y , z ) como função da parametrização

δ ϕ u , v

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

N → = ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S δ x , y , z d S = ∫ ∫ D δ ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Excelente! Então, vamos aplicar tudo isso no nosso item 😊

Passo 2

Bom, pra começar recebemos nesse item a função densidade de massa:

δ x , y , z = y

E, a superfície S é o plano 3 x + 2 y + z = 6 , no primeiro octante.

Certo! Sabendo disso bora aplicar nossa receita do bolo.

1 )   Parametrizar a superfície S :

Como trata-se de um plano, podemos usar a parametrização explícita. Assim, temos:

3 x + 2 y + z = 6

∴ z = 6 - 3 x - 2 y

Então:

ϕ x , y = ( x , y , 6 - 3 x - 2 y )

Além disso, como a nossa superfície está sujeita ao primeiro octante, precisamos ter:

x ≥ 0 y ≥ 0 z ≥ 0

Para que z , que depende dos nossos parâmetros, seja sempre não-negativo, os máximos valores que x e y podem assumir são:

z = 6 - 3 x - 2 y ≥ 0

∴ 6 - 3 x 2 ≥ y

Pra descobrir o valor máximo de x , podemos considerar o valor limite pra que y também seja não-negativo

6 - 3 x M ≥ 0

2 ≥ x M

Logo:

0 ≤ x ≤ 2

Excelente! Assim já matamos a parametrização da superfície.

2 )   Escrever a função f ( x , y , z ) como função da parametrização

Nesse caso, temos:

f x , y , z = δ x , y , z = y

Mas, y é uma das nossas variáveis independentes do problema, ou seja, permanecemos escrevendo:

δ x , y , z = y

Boa!

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície:

Bora lá!

ϕ x , y = x , y ,   6 - 3 x - 2 y

Daí, derivando parcialmente teremos:

∂ ϕ ∂ x = 1,0 , - 3

Já derivando parcialmente com relação a y :

∂ ϕ ∂ y = ( 0,1 , - 2 )

Agora podemos montar o produto vetorial:

N → = i j k 1 0 - 3 0 1 - 2

⇒ N → =   3 i + 2 j + k

Tirando o módulo, vem:

N → = 3 2 + 2 2 + 1 1

N → = 14

Muito bom pessoal!!

Passo 3

Já estamos acabandooo...

Vamos montar a integral, essa é a nossa quarta etapa na receita do bolo:

∫ ∫ S δ x , y , z d σ = ∫ 0 2 ∫ 0 6 - 3 x 2 y 14 d y d x

Massa! Então bora matar a integral.

∫ 0 2 ∫ 0 6 - 3 x 2 y 14 d y d x = 14 ∫ 0 2 6 - 3 x 2 2 2 ⋅ 2 d x

= 14 8 ⋅ ∫ 0 2 36 - 36 x + 9 x 2 d x

= 14 8 ⋅ 36 x - 36 x 2 2 + 9 x 3 3 0 2

= 14 8 ⋅ 36 ⋅ 2 - 36 ⋅ 2 2 2 + 3 ⋅ 2 3

Logo, temos:

∫ 0 2 ∫ 0 6 - 3 x 2 y 14 d y d x = 3 14

Prontinho! Matamos mais uma questão!

Obrigado pela atenção gente 😊

Resposta

3 14

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